Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39940 / 11268
↖ ↑ ↗
← N 75.491654°
E 39.396973°		 ← 153.02 m → N 75.491654°
E 39.402466°		 →
↑
153.03 m
↓
↑
153.03 m
↓
N 75.490278°
E 39.396973°		 ← 153.03 m →
23 417 m²		 N 75.490278°
E 39.402466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609443664550781 y=0.171943664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609443664550781 × 216)
    floor (0.609443664550781 × 65536)
    floor (39940.5)     		tx = 39940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171943664550781 × 216)
    floor (0.171943664550781 × 65536)
    floor (11268.5)     		ty = 11268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39940 / 11268 ti = "16/39940/11268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39940/11268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39940 ÷ 216
    39940 ÷ 65536     		x = 0.60943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11268 ÷ 216
    11268 ÷ 65536     		y = 0.17193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68760689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17193603515625 × 2 - 1) × π
    0.6561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06128668366241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68760689} λ = 0.68760689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06128668366241))-π/2
    2×atan(7.8560715889923)-π/2
    2×1.44418712105585-π/2
    2.88837424211171-1.57079632675     		φ = 1.31757792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68760689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.396973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31757792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.491654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39940 KachelY 11268 0.68760689 1.31757792 39.396973 75.491654
    Oben rechts KachelX + 1 39941 KachelY 11268 0.68770276 1.31757792 39.402466 75.491654
    Unten links KachelX 39940 KachelY + 1 11269 0.68760689 1.31755390 39.396973 75.490278
    Unten rechts KachelX + 1 39941 KachelY + 1 11269 0.68770276 1.31755390 39.402466 75.490278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31757792-1.31755390) × R
    2.40199999999025e-05 × 6371000     		dl = 153.031419999379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31757792-1.31755390) × R
    2.40199999999025e-05 × 6371000     		dr = 153.031419999379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68760689-0.68770276) × cos(1.31757792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250521026871225 × 6371000     		do = 153.015179340782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68760689-0.68770276) × cos(1.31755390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250544280828978 × 6371000     		du = 153.029382573782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31757792)-sin(1.31755390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250521026871225-0.250544280828978)×R²
    abs(0.68770276-0.68760689)×2.32539577530444e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32539577530444e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32539577530444e-05×40589641000000     		ar = 23417.2169474879m²