Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39944 / 11272
↖ ↑ ↗
← N 75.486148°
E 39.418945°		 ← 153.09 m → N 75.486148°
E 39.424439°		 →
↑
153.03 m
↓
↑
153.03 m
↓
N 75.484772°
E 39.418945°		 ← 153.10 m →
23 428 m²		 N 75.484772°
E 39.424439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609504699707031 y=0.172004699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609504699707031 × 216)
    floor (0.609504699707031 × 65536)
    floor (39944.5)     		tx = 39944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172004699707031 × 216)
    floor (0.172004699707031 × 65536)
    floor (11272.5)     		ty = 11272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39944 / 11272 ti = "16/39944/11272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39944/11272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39944 ÷ 216
    39944 ÷ 65536     		x = 0.6094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11272 ÷ 216
    11272 ÷ 65536     		y = 0.1719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6094970703125 × 2 - 1) × π
    0.218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68799038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1719970703125 × 2 - 1) × π
    0.656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06090318846545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68799038} λ = 0.68799038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06090318846545))-π/2
    2×atan(7.8530594008877)-π/2
    2×1.44413907533147-π/2
    2.88827815066294-1.57079632675     		φ = 1.31748182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68799038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31748182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.486148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39944 KachelY 11272 0.68799038 1.31748182 39.418945 75.486148
    Oben rechts KachelX + 1 39945 KachelY 11272 0.68808626 1.31748182 39.424439 75.486148
    Unten links KachelX 39944 KachelY + 1 11273 0.68799038 1.31745780 39.418945 75.484772
    Unten rechts KachelX + 1 39945 KachelY + 1 11273 0.68808626 1.31745780 39.424439 75.484772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31748182-1.31745780) × R
    2.40200000001245e-05 × 6371000     		dl = 153.031420000793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31748182-1.31745780) × R
    2.40200000001245e-05 × 6371000     		dr = 153.031420000793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68799038-0.68808626) × cos(1.31748182) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.2506140611966 × 6371000     		do = 153.087970190653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68799038-0.68808626) × cos(1.31745780) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250637314575936 × 6371000     		du = 153.102174551836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31748182)-sin(1.31745780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2506140611966-0.250637314575936)×R²
    abs(0.68808626-0.68799038)×2.32533793357859e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.32533793357859e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.32533793357859e-05×40589641000000     		ar = 23428.3563213836m²