Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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3 / 4 / 4
↖ ↑ ↗
← N  0.000000°
E  0.000000°		 ← 5 003.772 km → N  0.000000°
E 45.000000°		 →
↑
4 556.757 km
↓
↑
4 556.757 km
↓
S 40.979898°
E  0.000000°		 ← 3 777.546 km →
20 906 083 km²		 S 40.979898°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 3 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5625 y=0.5625 und der Vergrößerungsstufe zoom=3 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5625 × 23)
    floor (0.5625 × 8)
    floor (4.5)     		tx = 4
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5625 × 23)
    floor (0.5625 × 8)
    floor (4.5)     		ty = 4
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 3 / 4 / 4 ti = "3/4/4"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/3/4/4.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4 ÷ 23
    4 ÷ 8     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4 ÷ 23
    4 ÷ 8     		y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675     		φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4 KachelY 4 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 5 KachelY 4 0.78539816 0.00000000 45.000000 0.000000
    Unten links KachelX 4 KachelY + 1 5 0.00000000 -0.71523415 0.000000 -40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 5 KachelY + 1 5 0.78539816 -0.71523415 45.000000 -40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00000000--0.71523415) × R
    0.71523415 × 6371000     		dl = 4556756.76965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00000000--0.71523415) × R
    0.71523415 × 6371000     		dr = 4556756.76965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.78539816) × cos(0.00000000) × R
    0.78539816 × 1 × 6371000     		do = 5003771.67736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.78539816) × cos(-0.71523415) × R
    0.78539816 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 3777545.92748058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00000000)-sin(-0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(1-0.754939707695381)×R²
    abs(0.78539816-0.00000000)×0.245060292304619×R²
    0.78539816×0.245060292304619×6371000²
    0.78539816×0.245060292304619×40589641000000     		ar = 20906082674910.3m²