Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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4 / 4 / 8
↖ ↑ ↗
← N  0.000000°
W 90.000000°		 ← 2 501.886 km → N  0.000000°
W 67.500000°		 →
↑
2 439.955 km
↓
↑
2 439.955 km
↓
S 21.943045°
W 90.000000°		 ← 2 320.639 km →
5 956 353 km²		 S 21.943045°
W 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 4 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28125 y=0.53125 und der Vergrößerungsstufe zoom=4 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28125 × 24)
    floor (0.28125 × 16)
    floor (4.5)     		tx = 4
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53125 × 24)
    floor (0.53125 × 16)
    floor (8.5)     		ty = 8
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 4 / 4 / 8 ti = "4/4/8"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/4/4/8.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4 ÷ 24
    4 ÷ 16     		x = 0.25
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8 ÷ 24
    8 ÷ 16     		y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Λ = -1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.57079633} λ = -1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675     		φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4 KachelY 8 -1.57079633 0.00000000 -90.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 5 KachelY 8 -1.17809725 0.00000000 -67.500000 0.000000
    Unten links KachelX 4 KachelY + 1 9 -1.57079633 -0.38297839 -90.000000 -21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 5 KachelY + 1 9 -1.17809725 -0.38297839 -67.500000 -21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00000000--0.38297839) × R
    0.38297839 × 6371000     		dl = 2439955.32269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00000000--0.38297839) × R
    0.38297839 × 6371000     		dr = 2439955.32269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.57079633--1.17809725) × cos(0.00000000) × R
    0.39269908 × 1 × 6371000     		do = 2501885.83868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.57079633--1.17809725) × cos(-0.38297839) × R
    0.39269908 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 2320638.65153749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00000000)-sin(-0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(1-0.927555772393619)×R²
    abs(-1.17809725--1.57079633)×0.0724442276063807×R²
    0.39269908×0.0724442276063807×6371000²
    0.39269908×0.0724442276063807×40589641000000     		ar = 5956353487631.56m²