Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 400 / 16
↖ ↑ ↗
← N 83.979259°
E101.250000°		 ← 8 200.59 m → N 83.979259°
E101.953125°		 →
↑
8 250.83 m
↓
↑
8 250.83 m
↓
N 83.905058°
E101.250000°		 ← 8 301.28 m →
68 077 026 m²		 N 83.905058°
E101.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7822265625 y=0.0322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7822265625 × 29)
    floor (0.7822265625 × 512)
    floor (400.5)     		tx = 400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0322265625 × 29)
    floor (0.0322265625 × 512)
    floor (16.5)     		ty = 16
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 400 / 16 ti = "9/400/16"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/400/16.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 400 ÷ 29
    400 ÷ 512     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16 ÷ 29
    16 ÷ 512     		y = 0.03125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.03125 × 2 - 1) × π
    0.9375 × 3.1415926535     		Φ = 2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.94524311265625))-π/2
    2×atan(19.0152846809447)-π/2
    2×1.51825545421397-π/2
    3.03651090842793-1.57079632675     		φ = 1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 400 KachelY 16 1.76714587 1.46571458 101.250000 83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 401 KachelY 16 1.77941771 1.46571458 101.953125 83.979259
    Unten links KachelX 400 KachelY + 1 17 1.76714587 1.46441952 101.250000 83.905058
    Unten rechts KachelX + 1 401 KachelY + 1 17 1.77941771 1.46441952 101.953125 83.905058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.46571458-1.46441952) × R
    0.0012950599999999 × 6371000     		dl = 8250.82725999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.46571458-1.46441952) × R
    0.0012950599999999 × 6371000     		dr = 8250.82725999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.77941771) × cos(1.46571458) × R
    0.0122718399999999 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 8200.58849128122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.77941771) × cos(1.46441952) × R
    0.0122718399999999 × 0.106176293178107 × 6371000     		du = 8301.27590675021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.46571458)-sin(1.46441952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.106176293178107)×R²
    abs(1.77941771-1.76714587)×0.00128782811995057×R²
    0.0122718399999999×0.00128782811995057×6371000²
    0.0122718399999999×0.00128782811995057×40589641000000     		ar = 68077025.8228384m²