Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 400 / 623
↖ ↑ ↗
← S 36.315125°
W 39.375000°		 ← 31.499 km → S 36.315125°
W 39.023438°		 →
↑
31.442 km
↓
↑
31.442 km
↓
S 36.597889°
W 39.375000°		 ← 31.385 km →
988.594 km²		 S 36.597889°
W 39.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39111328125 y=0.60888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39111328125 × 210)
    floor (0.39111328125 × 1024)
    floor (400.5)     		tx = 400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60888671875 × 210)
    floor (0.60888671875 × 1024)
    floor (623.5)     		ty = 623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 400 / 623 ti = "10/400/623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/400/623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 400 ÷ 210
    400 ÷ 1024     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 623 ÷ 210
    623 ÷ 1024     		y = 0.6083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6083984375 × 2 - 1) × π
    -0.216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.681087469801758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.681087469801758))-π/2
    2×atan(0.506066361137015)-π/2
    2×0.468488912356628-π/2
    0.936977824713256-1.57079632675     		φ = -0.63381850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63381850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.315125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 400 KachelY 623 -0.68722339 -0.63381850 -39.375000 -36.315125
    Oben rechts KachelX + 1 401 KachelY 623 -0.68108747 -0.63381850 -39.023438 -36.315125
    Unten links KachelX 400 KachelY + 1 624 -0.68722339 -0.63875366 -39.375000 -36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 401 KachelY + 1 624 -0.68108747 -0.63875366 -39.023438 -36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63381850--0.63875366) × R
    0.00493516000000005 × 6371000     		dl = 31441.9043600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63381850--0.63875366) × R
    0.00493516000000005 × 6371000     		dr = 31441.9043600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68108747) × cos(-0.63381850) × R
    0.00613591999999996 × 0.805771973626887 × 6371000     		do = 31499.1947391825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68108747) × cos(-0.63875366) × R
    0.00613591999999996 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 31384.5564204745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63381850)-sin(-0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.805771973626887-0.802839443284969)×R²
    abs(-0.68108747--0.68722339)×0.00293253034191776×R²
    0.00613591999999996×0.00293253034191776×6371000²
    0.00613591999999996×0.00293253034191776×40589641000000     		ar = 988594451.38189m²