Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 400 / 657
↖ ↑ ↗
← S 45.336702°
W 39.375000°		 ← 27.479 km → S 45.336702°
W 39.023438°		 →
↑
27.419 km
↓
↑
27.419 km
↓
S 45.583290°
W 39.375000°		 ← 27.359 km →
751.820 km²		 S 45.583290°
W 39.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39111328125 y=0.64208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39111328125 × 210)
    floor (0.39111328125 × 1024)
    floor (400.5)     		tx = 400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64208984375 × 210)
    floor (0.64208984375 × 1024)
    floor (657.5)     		ty = 657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 400 / 657 ti = "10/400/657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/400/657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 400 ÷ 210
    400 ÷ 1024     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 657 ÷ 210
    657 ÷ 1024     		y = 0.6416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    -0.283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.889708856948242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889708856948242))-π/2
    2×atan(0.410775329727582)-π/2
    2×0.389760803244313-π/2
    0.779521606488627-1.57079632675     		φ = -0.79127472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79127472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.336702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 400 KachelY 657 -0.68722339 -0.79127472 -39.375000 -45.336702
    Oben rechts KachelX + 1 401 KachelY 657 -0.68108747 -0.79127472 -39.023438 -45.336702
    Unten links KachelX 400 KachelY + 1 658 -0.68722339 -0.79557849 -39.375000 -45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 401 KachelY + 1 658 -0.68108747 -0.79557849 -39.023438 -45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79127472--0.79557849) × R
    0.00430377000000004 × 6371000     		dl = 27419.3186700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79127472--0.79557849) × R
    0.00430377000000004 × 6371000     		dr = 27419.3186700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68108747) × cos(-0.79127472) × R
    0.00613591999999996 × 0.702939242531099 × 6371000     		do = 27479.263135247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68108747) × cos(-0.79557849) × R
    0.00613591999999996 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 27359.3463773364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79127472)-sin(-0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702939242531099-0.699871685931871)×R²
    abs(-0.68108747--0.68722339)×0.00306755659922797×R²
    0.00613591999999996×0.00306755659922797×6371000²
    0.00613591999999996×0.00306755659922797×40589641000000     		ar = 751819815.284195m²