Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 400 / 688
↖ ↑ ↗
← S 52.482780°
W 39.375000°		 ← 23.807 km → S 52.482780°
W 39.023438°		 →
↑
23.749 km
↓
↑
23.749 km
↓
S 52.696361°
W 39.375000°		 ← 23.691 km →
564.020 km²		 S 52.696361°
W 39.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39111328125 y=0.67236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39111328125 × 210)
    floor (0.39111328125 × 1024)
    floor (400.5)     		tx = 400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67236328125 × 210)
    floor (0.67236328125 × 1024)
    floor (688.5)     		ty = 688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 400 / 688 ti = "10/400/688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/400/688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 400 ÷ 210
    400 ÷ 1024     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 688 ÷ 210
    688 ÷ 1024     		y = 0.671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671875 × 2 - 1) × π
    -0.34375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07992247464063))-π/2
    2×atan(0.339621853930649)-π/2
    2×0.327399505668934-π/2
    0.654799011337869-1.57079632675     		φ = -0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 400 KachelY 688 -0.68722339 -0.91599732 -39.375000 -52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 401 KachelY 688 -0.68108747 -0.91599732 -39.023438 -52.482780
    Unten links KachelX 400 KachelY + 1 689 -0.68722339 -0.91972500 -39.375000 -52.696361
    Unten rechts KachelX + 1 401 KachelY + 1 689 -0.68108747 -0.91972500 -39.023438 -52.696361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91599732--0.91972500) × R
    0.00372768000000001 × 6371000     		dl = 23749.0492800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91599732--0.91972500) × R
    0.00372768000000001 × 6371000     		dr = 23749.0492800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68108747) × cos(-0.91599732) × R
    0.00613591999999996 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 23806.9888110607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68108747) × cos(-0.91972500) × R
    0.00613591999999996 × 0.606038924178641 × 6371000     		du = 23691.2410918218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91599732)-sin(-0.91972500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.606038924178641)×R²
    abs(-0.68108747--0.68722339)×0.0029609096024884×R²
    0.00613591999999996×0.0029609096024884×6371000²
    0.00613591999999996×0.0029609096024884×40589641000000     		ar = 564019554.454069m²