Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4000 / 4512
↖ ↑ ↗
← S 17.978733°
W  4.218750°		 ← 4 647.89 m → S 17.978733°
W  4.174805°		 →
↑
4 647.33 m
↓
↑
4 647.33 m
↓
S 18.020528°
W  4.218750°		 ← 4 646.79 m →
21 597 708 m²		 S 18.020528°
W  4.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48834228515625 y=0.55084228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48834228515625 × 213)
    floor (0.48834228515625 × 8192)
    floor (4000.5)     		tx = 4000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55084228515625 × 213)
    floor (0.55084228515625 × 8192)
    floor (4512.5)     		ty = 4512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4000 / 4512 ti = "13/4000/4512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4000/4512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4000 ÷ 213
    4000 ÷ 8192     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4512 ÷ 213
    4512 ÷ 8192     		y = 0.55078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55078125 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319068003871094))-π/2
    2×atan(0.726826120635872)-π/2
    2×0.628504119474422-π/2
    1.25700823894884-1.57079632675     		φ = -0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4000 KachelY 4512 -0.07363108 -0.31378809 -4.218750 -17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 4001 KachelY 4512 -0.07286409 -0.31378809 -4.174805 -17.978733
    Unten links KachelX 4000 KachelY + 1 4513 -0.07363108 -0.31451754 -4.218750 -18.020528
    Unten rechts KachelX + 1 4001 KachelY + 1 4513 -0.07286409 -0.31451754 -4.174805 -18.020528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31378809--0.31451754) × R
    0.000729449999999965 × 6371000     		dl = 4647.32594999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31378809--0.31451754) × R
    0.000729449999999965 × 6371000     		dr = 4647.32594999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07286409) × cos(-0.31378809) × R
    0.000766989999999995 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 4647.89144344697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07286409) × cos(-0.31451754) × R
    0.000766989999999995 × 0.950945742305645 × 6371000     		du = 4646.78998893057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31378809)-sin(-0.31451754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.950945742305645)×R²
    abs(-0.07286409--0.07363108)×0.000225407966619851×R²
    0.000766989999999995×0.000225407966619851×6371000²
    0.000766989999999995×0.000225407966619851×40589641000000     		ar = 21597708.0665071m²