Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40064 / 11392
↖ ↑ ↗
← N 75.320025°
E 40.078125°		 ← 154.79 m → N 75.320025°
E 40.083618°		 →
↑
154.75 m
↓
↑
154.75 m
↓
N 75.318633°
E 40.078125°		 ← 154.80 m →
23 954 m²		 N 75.318633°
E 40.083618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611335754394531 y=0.173835754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611335754394531 × 216)
    floor (0.611335754394531 × 65536)
    floor (40064.5)     		tx = 40064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173835754394531 × 216)
    floor (0.173835754394531 × 65536)
    floor (11392.5)     		ty = 11392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40064 / 11392 ti = "16/40064/11392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40064/11392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40064 ÷ 216
    40064 ÷ 65536     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11392 ÷ 216
    11392 ÷ 65536     		y = 0.173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173828125 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04939833255664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04939833255664))-π/2
    2×atan(7.76322881883045)-π/2
    2×1.44268937988364-π/2
    2.88537875976729-1.57079632675     		φ = 1.31458243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31458243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.320025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40064 KachelY 11392 0.69949524 1.31458243 40.078125 75.320025
    Oben rechts KachelX + 1 40065 KachelY 11392 0.69959111 1.31458243 40.083618 75.320025
    Unten links KachelX 40064 KachelY + 1 11393 0.69949524 1.31455814 40.078125 75.318633
    Unten rechts KachelX + 1 40065 KachelY + 1 11393 0.69959111 1.31455814 40.083618 75.318633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31458243-1.31455814) × R
    2.42900000000379e-05 × 6371000     		dl = 154.751590000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31458243-1.31455814) × R
    2.42900000000379e-05 × 6371000     		dr = 154.751590000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69959111) × cos(1.31458243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.25341986587156 × 6371000     		do = 154.785754749386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69959111) × cos(1.31455814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.25344336288334 × 6371000     		du = 154.800106436813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31458243)-sin(1.31455814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25341986587156-0.25344336288334)×R²
    abs(0.69959111-0.69949524)×2.34970117795053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34970117795053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34970117795053e-05×40589641000000     		ar = 23954.4521311114m²