Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 401 / 399
↖ ↑ ↗
← S 70.377854°
E101.953125°		 ← 26.255 km → S 70.377854°
E102.656250°		 →
↑
26.104 km
↓
↑
26.104 km
↓
S 70.612614°
E101.953125°		 ← 25.953 km →
681.435 km²		 S 70.612614°
E102.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7841796875 y=0.7802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7841796875 × 29)
    floor (0.7841796875 × 512)
    floor (401.5)     		tx = 401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7802734375 × 29)
    floor (0.7802734375 × 512)
    floor (399.5)     		ty = 399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 401 / 399 ti = "9/401/399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/401/399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 401 ÷ 29
    401 ÷ 512     		x = 0.783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 399 ÷ 29
    399 ÷ 512     		y = 0.779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783203125 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77941771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779296875 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77941771} λ = 1.77941771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75487402129102))-π/2
    2×atan(0.172929026295006)-π/2
    2×0.171235527526007-π/2
    0.342471055052013-1.57079632675     		φ = -1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77941771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 401 KachelY 399 1.77941771 -1.22832527 101.953125 -70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 402 KachelY 399 1.79168956 -1.22832527 102.656250 -70.377854
    Unten links KachelX 401 KachelY + 1 400 1.77941771 -1.23242261 101.953125 -70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 402 KachelY + 1 400 1.79168956 -1.23242261 102.656250 -70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22832527--1.23242261) × R
    0.00409733999999995 × 6371000     		dl = 26104.1531399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22832527--1.23242261) × R
    0.00409733999999995 × 6371000     		dr = 26104.1531399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77941771-1.79168956) × cos(-1.22832527) × R
    0.0122718500000001 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 26255.3978363155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77941771-1.79168956) × cos(-1.23242261) × R
    0.0122718500000001 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 25953.4352752423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22832527)-sin(-1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.331953465734817)×R²
    abs(1.79168956-1.77941771)×0.00386220620150474×R²
    0.0122718500000001×0.00386220620150474×6371000²
    0.0122718500000001×0.00386220620150474×40589641000000     		ar = 681434640.740807m²