Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 402 / 658
↖ ↑ ↗
← S 45.583290°
W 38.671875°		 ← 27.359 km → S 45.583290°
W 38.320312°		 →
↑
27.299 km
↓
↑
27.299 km
↓
S 45.828799°
W 38.671875°		 ← 27.239 km →
745.260 km²		 S 45.828799°
W 38.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39306640625 y=0.64306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39306640625 × 210)
    floor (0.39306640625 × 1024)
    floor (402.5)     		tx = 402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64306640625 × 210)
    floor (0.64306640625 × 1024)
    floor (658.5)     		ty = 658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 402 / 658 ti = "10/402/658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/402/658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 402 ÷ 210
    402 ÷ 1024     		x = 0.392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 658 ÷ 210
    658 ÷ 1024     		y = 0.642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392578125 × 2 - 1) × π
    -0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642578125 × 2 - 1) × π
    -0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67495155} λ = -0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895844780099609))-π/2
    2×atan(0.408262560834024)-π/2
    2×0.387608918339952-π/2
    0.775217836679904-1.57079632675     		φ = -0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 402 KachelY 658 -0.67495155 -0.79557849 -38.671875 -45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 403 KachelY 658 -0.66881562 -0.79557849 -38.320312 -45.583290
    Unten links KachelX 402 KachelY + 1 659 -0.67495155 -0.79986344 -38.671875 -45.828799
    Unten rechts KachelX + 1 403 KachelY + 1 659 -0.66881562 -0.79986344 -38.320312 -45.828799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79557849--0.79986344) × R
    0.00428494999999995 × 6371000     		dl = 27299.4164499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79557849--0.79986344) × R
    0.00428494999999995 × 6371000     		dr = 27299.4164499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67495155--0.66881562) × cos(-0.79557849) × R
    0.0061359299999999 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 27359.3909661613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67495155--0.66881562) × cos(-0.79986344) × R
    0.0061359299999999 × 0.69680466499832 × 6371000     		du = 27239.4949530647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79557849)-sin(-0.79986344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.69680466499832)×R²
    abs(-0.66881562--0.67495155)×0.00306702093355038×R²
    0.0061359299999999×0.00306702093355038×6371000²
    0.0061359299999999×0.00306702093355038×40589641000000     		ar = 745260002.50512m²