Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4031 / 4289
↖ ↑ ↗
← S  8.450639°
W  2.856446°		 ← 4 833.44 m → S  8.450639°
W  2.812500°		 →
↑
4 833.17 m
↓
↑
4 833.17 m
↓
S  8.494104°
W  2.856446°		 ← 4 832.89 m →
23 359 508 m²		 S  8.494104°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49212646484375 y=0.52362060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49212646484375 × 213)
    floor (0.49212646484375 × 8192)
    floor (4031.5)     		tx = 4031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52362060546875 × 213)
    floor (0.52362060546875 × 8192)
    floor (4289.5)     		ty = 4289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4031 / 4289 ti = "13/4031/4289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4031/4289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4031 ÷ 213
    4031 ÷ 8192     		x = 0.4920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4289 ÷ 213
    4289 ÷ 8192     		y = 0.5235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5235595703125 × 2 - 1) × π
    -0.047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.148029146026733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04985438} λ = -0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148029146026733))-π/2
    2×atan(0.862405978868024)-π/2
    2×0.711652427918261-π/2
    1.42330485583652-1.57079632675     		φ = -0.14749147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14749147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.450639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4031 KachelY 4289 -0.04985438 -0.14749147 -2.856446 -8.450639
    Oben rechts KachelX + 1 4032 KachelY 4289 -0.04908739 -0.14749147 -2.812500 -8.450639
    Unten links KachelX 4031 KachelY + 1 4290 -0.04985438 -0.14825009 -2.856446 -8.494104
    Unten rechts KachelX + 1 4032 KachelY + 1 4290 -0.04908739 -0.14825009 -2.812500 -8.494104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14749147--0.14825009) × R
    0.000758619999999988 × 6371000     		dl = 4833.16801999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14749147--0.14825009) × R
    0.000758619999999988 × 6371000     		dr = 4833.16801999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04985438--0.04908739) × cos(-0.14749147) × R
    0.000766989999999995 × 0.989142836551835 × 6371000     		do = 4833.43983366208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04985438--0.04908739) × cos(-0.14825009) × R
    0.000766989999999995 × 0.989031067185378 × 6371000     		du = 4832.89367340286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14749147)-sin(-0.14825009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989142836551835-0.989031067185378)×R²
    abs(-0.04908739--0.04985438)×0.000111769366457293×R²
    0.000766989999999995×0.000111769366457293×6371000²
    0.000766989999999995×0.000111769366457293×40589641000000     		ar = 23359508.108791m²