Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4034 / 4034
↖ ↑ ↗
← N  2.723583°
W  2.724609°		 ← 4 880.97 m → N  2.723583°
W  2.680664°		 →
↑
4 881.08 m
↓
↑
4 881.08 m
↓
N  2.679686°
W  2.724609°		 ← 4 881.15 m →
23 824 844 m²		 N  2.679686°
W  2.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49249267578125 y=0.49249267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49249267578125 × 213)
    floor (0.49249267578125 × 8192)
    floor (4034.5)     		tx = 4034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49249267578125 × 213)
    floor (0.49249267578125 × 8192)
    floor (4034.5)     		ty = 4034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4034 / 4034 ti = "13/4034/4034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4034/4034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4034 ÷ 213
    4034 ÷ 8192     		x = 0.492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4034 ÷ 213
    4034 ÷ 8192     		y = 0.492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04755340} λ = -0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0475534044230957))-π/2
    2×atan(1.0487022049621)-π/2
    2×0.809165909524794-π/2
    1.61833181904959-1.57079632675     		φ = 0.04753549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04753549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.723583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4034 KachelY 4034 -0.04755340 0.04753549 -2.724609 2.723583
    Oben rechts KachelX + 1 4035 KachelY 4034 -0.04678641 0.04753549 -2.680664 2.723583
    Unten links KachelX 4034 KachelY + 1 4035 -0.04755340 0.04676935 -2.724609 2.679686
    Unten rechts KachelX + 1 4035 KachelY + 1 4035 -0.04678641 0.04676935 -2.680664 2.679686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04753549-0.04676935) × R
    0.000766139999999998 × 6371000     		dl = 4881.07793999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04753549-0.04676935) × R
    0.000766139999999998 × 6371000     		dr = 4881.07793999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04755340--0.04678641) × cos(0.04753549) × R
    0.000766990000000002 × 0.998870401324842 × 6371000     		do = 4880.97351365346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04755340--0.04678641) × cos(0.04676935) × R
    0.000766990000000002 × 0.99890651329395 × 6371000     		du = 4881.14997454819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04753549)-sin(0.04676935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998870401324842-0.99890651329395)×R²
    abs(-0.04678641--0.04755340)×3.61119691080214e-05×R²
    0.000766990000000002×3.61119691080214e-05×6371000²
    0.000766990000000002×3.61119691080214e-05×40589641000000     		ar = 23824843.9682817m²