Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4036 / 4292
↖ ↑ ↗
← S  8.581021°
W  2.636719°		 ← 4 831.79 m → S  8.581021°
W  2.592773°		 →
↑
4 831.51 m
↓
↑
4 831.51 m
↓
S  8.624472°
W  2.636719°		 ← 4 831.24 m →
23 343 527 m²		 S  8.624472°
W  2.592773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49273681640625 y=0.52398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49273681640625 × 213)
    floor (0.49273681640625 × 8192)
    floor (4036.5)     		tx = 4036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52398681640625 × 213)
    floor (0.52398681640625 × 8192)
    floor (4292.5)     		ty = 4292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4036 / 4292 ti = "13/4036/4292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4036/4292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4036 ÷ 213
    4036 ÷ 8192     		x = 0.49267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4292 ÷ 213
    4292 ÷ 8192     		y = 0.52392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.150330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04601942} λ = -0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150330117208496))-π/2
    2×atan(0.860423888804236)-π/2
    2×0.710514626701354-π/2
    1.42102925340271-1.57079632675     		φ = -0.14976707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14976707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.581021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4036 KachelY 4292 -0.04601942 -0.14976707 -2.636719 -8.581021
    Oben rechts KachelX + 1 4037 KachelY 4292 -0.04525243 -0.14976707 -2.592773 -8.581021
    Unten links KachelX 4036 KachelY + 1 4293 -0.04601942 -0.15052543 -2.636719 -8.624472
    Unten rechts KachelX + 1 4037 KachelY + 1 4293 -0.04525243 -0.15052543 -2.592773 -8.624472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14976707--0.15052543) × R
    0.000758359999999986 × 6371000     		dl = 4831.51155999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14976707--0.15052543) × R
    0.000758359999999986 × 6371000     		dr = 4831.51155999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04601942--0.04525243) × cos(-0.14976707) × R
    0.000766989999999995 × 0.988805859736353 × 6371000     		do = 4831.79319871434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04601942--0.04525243) × cos(-0.15052543) × R
    0.000766989999999995 × 0.988692422173392 × 6371000     		du = 4831.2388868241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14976707)-sin(-0.15052543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988805859736353-0.988692422173392)×R²
    abs(-0.04525243--0.04601942)×0.000113437562960561×R²
    0.000766989999999995×0.000113437562960561×6371000²
    0.000766989999999995×0.000113437562960561×40589641000000     		ar = 23343526.7317223m²