Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 404 / 148
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
E104.062500°		 ← 38.808 km → N 60.239811°
E104.765625°		 →
↑
39.015 km
↓
↑
39.015 km
↓
N 59.888937°
E104.062500°		 ← 39.223 km →
1 522.22 km²		 N 59.888937°
E104.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7900390625 y=0.2900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7900390625 × 29)
    floor (0.7900390625 × 512)
    floor (404.5)     		tx = 404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2900390625 × 29)
    floor (0.2900390625 × 512)
    floor (148.5)     		ty = 148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 404 / 148 ti = "9/404/148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/404/148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 404 ÷ 29
    404 ÷ 512     		x = 0.7890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 148 ÷ 29
    148 ÷ 512     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7890625 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81623325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81623325} λ = 1.81623325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81623325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 404 KachelY 148 1.81623325 1.05138305 104.062500 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 405 KachelY 148 1.82850510 1.05138305 104.765625 60.239811
    Unten links KachelX 404 KachelY + 1 149 1.81623325 1.04525913 104.062500 59.888937
    Unten rechts KachelX + 1 405 KachelY + 1 149 1.82850510 1.04525913 104.765625 59.888937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.04525913) × R
    0.00612392000000006 × 6371000     		dl = 39015.4943200004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.04525913) × R
    0.00612392000000006 × 6371000     		dr = 39015.4943200004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81623325-1.82850510) × cos(1.05138305) × R
    0.0122718500000001 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 38808.2394263005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81623325-1.82850510) × cos(1.04525913) × R
    0.0122718500000001 × 0.501677781579305 × 6371000     		du = 39223.1537767615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.04525913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.501677781579305)×R²
    abs(1.82850510-1.81623325)×0.00530689888093644×R²
    0.0122718500000001×0.00530689888093644×6371000²
    0.0122718500000001×0.00530689888093644×40589641000000     		ar = 1522221446.39684m²