Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 404 / 404
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
E104.062500°		 ← 24.776 km → S 71.524909°
E104.765625°		 →
↑
24.632 km
↓
↑
24.632 km
↓
S 71.746432°
E104.062500°		 ← 24.489 km →
606.752 km²		 S 71.746432°
E104.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7900390625 y=0.7900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7900390625 × 29)
    floor (0.7900390625 × 512)
    floor (404.5)     		tx = 404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7900390625 × 29)
    floor (0.7900390625 × 512)
    floor (404.5)     		ty = 404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 404 / 404 ti = "9/404/404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/404/404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 404 ÷ 29
    404 ÷ 512     		x = 0.7890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 404 ÷ 29
    404 ÷ 512     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7890625 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81623325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81623325} λ = 1.81623325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81623325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 404 KachelY 404 1.81623325 -1.24834516 104.062500 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 405 KachelY 404 1.82850510 -1.24834516 104.765625 -71.524909
    Unten links KachelX 404 KachelY + 1 405 1.81623325 -1.25221146 104.062500 -71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 405 KachelY + 1 405 1.82850510 -1.25221146 104.765625 -71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.25221146) × R
    0.0038663000000001 × 6371000     		dl = 24632.1973000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.25221146) × R
    0.0038663000000001 × 6371000     		dr = 24632.1973000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81623325-1.82850510) × cos(-1.24834516) × R
    0.0122718500000001 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 24775.897474884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81623325-1.82850510) × cos(-1.25221146) × R
    0.0122718500000001 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 24489.009570171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.313222951529119)×R²
    abs(1.82850510-1.81623325)×0.00366939610255551×R²
    0.0122718500000001×0.00366939610255551×6371000²
    0.0122718500000001×0.00366939610255551×40589641000000     		ar = 606752210.975104m²