Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 404 / 692
↖ ↑ ↗
← S 53.330873°
W 37.968750°		 ← 23.345 km → S 53.330873°
W 37.617188°		 →
↑
23.288 km
↓
↑
23.288 km
↓
S 53.540308°
W 37.968750°		 ← 23.231 km →
542.334 km²		 S 53.540308°
W 37.617188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39501953125 y=0.67626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39501953125 × 210)
    floor (0.39501953125 × 1024)
    floor (404.5)     		tx = 404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67626953125 × 210)
    floor (0.67626953125 × 1024)
    floor (692.5)     		ty = 692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 404 / 692 ti = "10/404/692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/404/692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 404 ÷ 210
    404 ÷ 1024     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 692 ÷ 210
    692 ÷ 1024     		y = 0.67578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67578125 × 2 - 1) × π
    -0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10446616724609))-π/2
    2×atan(0.33138774066158)-π/2
    2×0.319998500148606-π/2
    0.639997000297211-1.57079632675     		φ = -0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 404 KachelY 692 -0.66267970 -0.93079933 -37.968750 -53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 405 KachelY 692 -0.65654378 -0.93079933 -37.617188 -53.330873
    Unten links KachelX 404 KachelY + 1 693 -0.66267970 -0.93445465 -37.968750 -53.540308
    Unten rechts KachelX + 1 405 KachelY + 1 693 -0.65654378 -0.93445465 -37.617188 -53.540308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93079933--0.93445465) × R
    0.00365532000000002 × 6371000     		dl = 23288.0437200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93079933--0.93445465) × R
    0.00365532000000002 × 6371000     		dr = 23288.0437200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.65654378) × cos(-0.93079933) × R
    0.00613591999999996 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 23345.4379692314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.65654378) × cos(-0.93445465) × R
    0.00613591999999996 × 0.594257126156798 × 6371000     		du = 23230.6676759989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93079933)-sin(-0.93445465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.594257126156798)×R²
    abs(-0.65654378--0.66267970)×0.0029359063448271×R²
    0.00613591999999996×0.0029359063448271×6371000²
    0.00613591999999996×0.0029359063448271×40589641000000     		ar = 542333796.146803m²