Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40448 / 7680
↖ ↑ ↗
← N 79.687184°
E 42.187500°		 ← 109.34 m → N 79.687184°
E 42.192993°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
N 79.686201°
E 42.187500°		 ← 109.35 m →
11 962 m²		 N 79.686201°
E 42.192993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617195129394531 y=0.117195129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617195129394531 × 216)
    floor (0.617195129394531 × 65536)
    floor (40448.5)     		tx = 40448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117195129394531 × 216)
    floor (0.117195129394531 × 65536)
    floor (7680.5)     		ty = 7680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40448 / 7680 ti = "16/40448/7680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40448/7680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40448 ÷ 216
    40448 ÷ 65536     		x = 0.6171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7680 ÷ 216
    7680 ÷ 65536     		y = 0.1171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6171875 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1171875 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73631078} λ = 0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40528187533594))-π/2
    2×atan(11.0815534585964)-π/2
    2×1.48080003096091-π/2
    2.96160006192181-1.57079632675     		φ = 1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40448 KachelY 7680 0.73631078 1.39080374 42.187500 79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 40449 KachelY 7680 0.73640665 1.39080374 42.192993 79.687184
    Unten links KachelX 40448 KachelY + 1 7681 0.73631078 1.39078657 42.187500 79.686201
    Unten rechts KachelX + 1 40449 KachelY + 1 7681 0.73640665 1.39078657 42.192993 79.686201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39080374-1.39078657) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39080374-1.39078657) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73631078-0.73640665) × cos(1.39080374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 109.344619172853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73631078-0.73640665) × cos(1.39078657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179039172578424 × 6371000     		du = 109.354936961818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39080374)-sin(1.39078657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.179039172578424)×R²
    abs(0.73640665-0.73631078)×1.68925926029295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68925926029295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68925926029295e-05×40589641000000     		ar = 11961.7798777076m²