Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 405 / 659
↖ ↑ ↗
← S 45.828799°
W 37.617188°		 ← 27.239 km → S 45.828799°
W 37.265625°		 →
↑
27.180 km
↓
↑
27.180 km
↓
S 46.073231°
W 37.617188°		 ← 27.120 km →
738.728 km²		 S 46.073231°
W 37.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39599609375 y=0.64404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39599609375 × 210)
    floor (0.39599609375 × 1024)
    floor (405.5)     		tx = 405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64404296875 × 210)
    floor (0.64404296875 × 1024)
    floor (659.5)     		ty = 659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 405 / 659 ti = "10/405/659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/405/659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 405 ÷ 210
    405 ÷ 1024     		x = 0.3955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 659 ÷ 210
    659 ÷ 1024     		y = 0.6435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3955078125 × 2 - 1) × π
    -0.208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.65654378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    -0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65654378} λ = -0.65654378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901980703250977))-π/2
    2×atan(0.40576516289158)-π/2
    2×0.38546644381566-π/2
    0.770932887631319-1.57079632675     		φ = -0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65654378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.617188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 405 KachelY 659 -0.65654378 -0.79986344 -37.617188 -45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 406 KachelY 659 -0.65040785 -0.79986344 -37.265625 -45.828799
    Unten links KachelX 405 KachelY + 1 660 -0.65654378 -0.80412957 -37.617188 -46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 406 KachelY + 1 660 -0.65040785 -0.80412957 -37.265625 -46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79986344--0.80412957) × R
    0.00426612999999998 × 6371000     		dl = 27179.5142299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79986344--0.80412957) × R
    0.00426612999999998 × 6371000     		dr = 27179.5142299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65654378--0.65040785) × cos(-0.79986344) × R
    0.00613593000000001 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 27239.4949530652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65654378--0.65040785) × cos(-0.80412957) × R
    0.00613593000000001 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 27119.6286861401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79986344)-sin(-0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.693738404991914)×R²
    abs(-0.65040785--0.65654378)×0.00306626000640642×R²
    0.00613593000000001×0.00306626000640642×6371000²
    0.00613593000000001×0.00306626000640642×40589641000000     		ar = 738728407.637824m²