Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 406 / 662
↖ ↑ ↗
← S 46.558860°
W 37.265625°		 ← 26.880 km → S 46.558860°
W 36.914062°		 →
↑
26.820 km
↓
↑
26.820 km
↓
S 46.800060°
W 37.265625°		 ← 26.760 km →
719.320 km²		 S 46.800060°
W 36.914062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39697265625 y=0.64697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39697265625 × 210)
    floor (0.39697265625 × 1024)
    floor (406.5)     		tx = 406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64697265625 × 210)
    floor (0.64697265625 × 1024)
    floor (662.5)     		ty = 662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 406 / 662 ti = "10/406/662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/406/662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 406 ÷ 210
    406 ÷ 1024     		x = 0.396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 662 ÷ 210
    662 ÷ 1024     		y = 0.646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.396484375 × 2 - 1) × π
    -0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646484375 × 2 - 1) × π
    -0.29296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65040785} λ = -0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920388472705078))-π/2
    2×atan(0.398364257381167)-π/2
    2×0.379095459273753-π/2
    0.758190918547505-1.57079632675     		φ = -0.81260541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81260541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.558860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 406 KachelY 662 -0.65040785 -0.81260541 -37.265625 -46.558860
    Oben rechts KachelX + 1 407 KachelY 662 -0.64427193 -0.81260541 -36.914062 -46.558860
    Unten links KachelX 406 KachelY + 1 663 -0.65040785 -0.81681513 -37.265625 -46.800060
    Unten rechts KachelX + 1 407 KachelY + 1 663 -0.64427193 -0.81681513 -36.914062 -46.800060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81260541--0.81681513) × R
    0.00420971999999997 × 6371000     		dl = 26820.1261199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81260541--0.81681513) × R
    0.00420971999999997 × 6371000     		dr = 26820.1261199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65040785--0.64427193) × cos(-0.81260541) × R
    0.00613591999999996 × 0.687609029827766 × 6371000     		do = 26879.9752831742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65040785--0.64427193) × cos(-0.81681513) × R
    0.00613591999999996 × 0.684546347752357 × 6371000     		du = 26760.249079887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81260541)-sin(-0.81681513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687609029827766-0.684546347752357)×R²
    abs(-0.64427193--0.65040785)×0.00306268207540883×R²
    0.00613591999999996×0.00306268207540883×6371000²
    0.00613591999999996×0.00306268207540883×40589641000000     		ar = 719319853.561609m²