Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 407 / 631
↖ ↑ ↗
← S 38.548166°
W 36.914062°		 ← 30.573 km → S 38.548166°
W 36.562500°		 →
↑
30.515 km
↓
↑
30.515 km
↓
S 38.822591°
W 36.914062°		 ← 30.456 km →
931.149 km²		 S 38.822591°
W 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39794921875 y=0.61669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39794921875 × 210)
    floor (0.39794921875 × 1024)
    floor (407.5)     		tx = 407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61669921875 × 210)
    floor (0.61669921875 × 1024)
    floor (631.5)     		ty = 631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 407 / 631 ti = "10/407/631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/407/631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 407 ÷ 210
    407 ÷ 1024     		x = 0.3974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 631 ÷ 210
    631 ÷ 1024     		y = 0.6162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3974609375 × 2 - 1) × π
    -0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6162109375 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.730174855012695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.64427193} λ = -0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.730174855012695))-π/2
    2×atan(0.481824733254202)-π/2
    2×0.449001959787812-π/2
    0.898003919575623-1.57079632675     		φ = -0.67279241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67279241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.548166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 407 KachelY 631 -0.64427193 -0.67279241 -36.914062 -38.548166
    Oben rechts KachelX + 1 408 KachelY 631 -0.63813601 -0.67279241 -36.562500 -38.548166
    Unten links KachelX 407 KachelY + 1 632 -0.64427193 -0.67758204 -36.914062 -38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 408 KachelY + 1 632 -0.63813601 -0.67758204 -36.562500 -38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67279241--0.67758204) × R
    0.00478962999999999 × 6371000     		dl = 30514.7327299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67279241--0.67758204) × R
    0.00478962999999999 × 6371000     		dr = 30514.7327299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.64427193--0.63813601) × cos(-0.67279241) × R
    0.00613592000000007 × 0.782084564710599 × 6371000     		do = 30573.2078213676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.64427193--0.63813601) × cos(-0.67758204) × R
    0.00613592000000007 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 30456.1773191217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67279241)-sin(-0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782084564710599-0.779090840599552)×R²
    abs(-0.63813601--0.64427193)×0.00299372411104648×R²
    0.00613592000000007×0.00299372411104648×6371000²
    0.00613592000000007×0.00299372411104648×40589641000000     		ar = 931149468.210339m²