Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40703 / 7935
↖ ↑ ↗
← N 79.433378°
E 43.588257°		 ← 112.01 m → N 79.433378°
E 43.593750°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
N 79.432371°
E 43.588257°		 ← 112.02 m →
12 545 m²		 N 79.432371°
E 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621086120605469 y=0.121086120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621086120605469 × 216)
    floor (0.621086120605469 × 65536)
    floor (40703.5)     		tx = 40703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121086120605469 × 216)
    floor (0.121086120605469 × 65536)
    floor (7935.5)     		ty = 7935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40703 / 7935 ti = "16/40703/7935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40703/7935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40703 ÷ 216
    40703 ÷ 65536     		x = 0.621078491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7935 ÷ 216
    7935 ÷ 65536     		y = 0.121078491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621078491210938 × 2 - 1) × π
    0.242156982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76075860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121078491210938 × 2 - 1) × π
    0.757843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38083405652971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76075860} λ = 0.76075860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38083405652971))-π/2
    2×atan(10.8139185229798)-π/2
    2×1.4785851556179-π/2
    2.95717031123581-1.57079632675     		φ = 1.38637398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76075860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.588257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38637398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.433378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40703 KachelY 7935 0.76075860 1.38637398 43.588257 79.433378
    Oben rechts KachelX + 1 40704 KachelY 7935 0.76085447 1.38637398 43.593750 79.433378
    Unten links KachelX 40703 KachelY + 1 7936 0.76075860 1.38635640 43.588257 79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 40704 KachelY + 1 7936 0.76085447 1.38635640 43.593750 79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38637398-1.38635640) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38637398-1.38635640) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76075860-0.76085447) × cos(1.38637398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183378706594094 × 6371000     		do = 112.005471266089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76075860-0.76085447) × cos(1.38635640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 112.016026812418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38637398)-sin(1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183378706594094-0.183395988450163)×R²
    abs(0.76085447-0.76075860)×1.72818560682519e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72818560682519e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72818560682519e-05×40589641000000     		ar = 12545.4480761863m²