Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40704 / 25344
N 37.718590°
E 43.593750°
← 483.15 m → N 37.718590°
E 43.599243°

483.18 m

483.18 m
N 37.714245°
E 43.593750°
← 483.18 m →
233 453 m²
N 37.714245°
E 43.599243°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621101379394531 y=0.386726379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621101379394531 × 216)
    floor (0.621101379394531 × 65536)
    floor (40704.5)
    tx = 40704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.386726379394531 × 216)
    floor (0.386726379394531 × 65536)
    floor (25344.5)
    ty = 25344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40704 / 25344 ti = "16/40704/25344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40704/25344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40704 ÷ 216
    40704 ÷ 65536
    x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25344 ÷ 216
    25344 ÷ 65536
    y = 0.38671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535
    Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.38671875 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535
    Φ = 0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.711767085558594))-π/2
    2×atan(2.03758867275937)-π/2
    2×1.1145549585856-π/2
    2.2291099171712-1.57079632675
    φ = 0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40704 KachelY 25344 0.76085447 0.65831359 43.593750 37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 40705 KachelY 25344 0.76095034 0.65831359 43.599243 37.718590
    Unten links KachelX 40704 KachelY + 1 25345 0.76085447 0.65823775 43.593750 37.714245
    Unten rechts KachelX + 1 40705 KachelY + 1 25345 0.76095034 0.65823775 43.599243 37.714245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.65831359-0.65823775) × R
    7.58400000000492e-05 × 6371000
    dl = 483.176640000313m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.65831359-0.65823775) × R
    7.58400000000492e-05 × 6371000
    dr = 483.176640000313m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76095034) × cos(0.65831359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.791025074037336 × 6371000
    do = 483.148440985339m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76095034) × cos(0.65823775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.791071469440501 × 6371000
    du = 483.176778730176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.65831359)-sin(0.65823775))×
    abs(λ12)×abs(0.791025074037336-0.791071469440501)×
    abs(0.76095034-0.76085447)×4.63954031640901e-05×
    9.58699999999979e-05×4.63954031640901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63954031640901e-05×40589641000000
    ar = 233452.886516854m²