Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40704 / 7936
↖ ↑ ↗
← N 79.432371°
E 43.593750°		 ← 112.02 m → N 79.432371°
E 43.599243°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
N 79.431363°
E 43.593750°		 ← 112.03 m →
12 547 m²		 N 79.431363°
E 43.599243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621101379394531 y=0.121101379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621101379394531 × 216)
    floor (0.621101379394531 × 65536)
    floor (40704.5)     		tx = 40704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121101379394531 × 216)
    floor (0.121101379394531 × 65536)
    floor (7936.5)     		ty = 7936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40704 / 7936 ti = "16/40704/7936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40704/7936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40704 ÷ 216
    40704 ÷ 65536     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7936 ÷ 216
    7936 ÷ 65536     		y = 0.12109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12109375 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38073818273047))-π/2
    2×atan(10.8128818012243)-π/2
    2×1.4785763645972-π/2
    2.9571527291944-1.57079632675     		φ = 1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40704 KachelY 7936 0.76085447 1.38635640 43.593750 79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 40705 KachelY 7936 0.76095034 1.38635640 43.599243 79.432371
    Unten links KachelX 40704 KachelY + 1 7937 0.76085447 1.38633882 43.593750 79.431363
    Unten rechts KachelX + 1 40705 KachelY + 1 7937 0.76095034 1.38633882 43.599243 79.431363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38635640-1.38633882) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38635640-1.38633882) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76095034) × cos(1.38635640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 112.016026812418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76095034) × cos(1.38633882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183413270249551 × 6371000     		du = 112.026582324128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38635640)-sin(1.38633882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.183413270249551)×R²
    abs(0.76095034-0.76085447)×1.72817993885632e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72817993885632e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72817993885632e-05×40589641000000     		ar = 12546.6303184383m²