Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40705 / 7937
↖ ↑ ↗
← N 79.431363°
E 43.599243°		 ← 112.04 m → N 79.431363°
E 43.604736°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
N 79.430356°
E 43.599243°		 ← 112.05 m →
12 556 m²		 N 79.430356°
E 43.604736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621116638183594 y=0.121116638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621116638183594 × 216)
    floor (0.621116638183594 × 65536)
    floor (40705.5)     		tx = 40705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121116638183594 × 216)
    floor (0.121116638183594 × 65536)
    floor (7937.5)     		ty = 7937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40705 / 7937 ti = "16/40705/7937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40705/7937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40705 ÷ 216
    40705 ÷ 65536     		x = 0.621109008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7937 ÷ 216
    7937 ÷ 65536     		y = 0.121109008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621109008789062 × 2 - 1) × π
    0.242218017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76095034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121109008789062 × 2 - 1) × π
    0.757781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38064230893123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76095034} λ = 0.76095034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38064230893123))-π/2
    2×atan(10.8118451788586)-π/2
    2×1.47856757274793-π/2
    2.95713514549585-1.57079632675     		φ = 1.38633882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76095034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.599243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38633882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.431363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40705 KachelY 7937 0.76095034 1.38633882 43.599243 79.431363
    Oben rechts KachelX + 1 40706 KachelY 7937 0.76104622 1.38633882 43.604736 79.431363
    Unten links KachelX 40705 KachelY + 1 7938 0.76095034 1.38632123 43.599243 79.430356
    Unten rechts KachelX + 1 40706 KachelY + 1 7938 0.76104622 1.38632123 43.604736 79.430356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38633882-1.38632123) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dl = 112.065889999368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38633882-1.38632123) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dr = 112.065889999368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76095034-0.76104622) × cos(1.38633882) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183413270249551 × 6371000     		do = 112.038267583635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76095034-0.76104622) × cos(1.38632123) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183430561822581 × 6371000     		du = 112.048830166612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38633882)-sin(1.38632123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183413270249551-0.183430561822581)×R²
    abs(0.76104622-0.76095034)×1.72915730301537e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.72915730301537e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.72915730301537e-05×40589641000000     		ar = 12556.2600234516m²