Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40705 / 8959
↖ ↑ ↗
← N 78.350520°
E 43.599243°		 ← 123.35 m → N 78.350520°
E 43.604736°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
N 78.349410°
E 43.599243°		 ← 123.36 m →
15 214 m²		 N 78.349410°
E 43.604736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621116638183594 y=0.136711120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621116638183594 × 216)
    floor (0.621116638183594 × 65536)
    floor (40705.5)     		tx = 40705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136711120605469 × 216)
    floor (0.136711120605469 × 65536)
    floor (8959.5)     		ty = 8959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40705 / 8959 ti = "16/40705/8959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40705/8959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40705 ÷ 216
    40705 ÷ 65536     		x = 0.621109008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8959 ÷ 216
    8959 ÷ 65536     		y = 0.136703491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621109008789062 × 2 - 1) × π
    0.242218017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76095034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136703491210938 × 2 - 1) × π
    0.726593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28265928610783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76095034} λ = 0.76095034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28265928610783))-π/2
    2×atan(9.80271399996336)-π/2
    2×1.46913543521628-π/2
    2.93827087043256-1.57079632675     		φ = 1.36747454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76095034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.599243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36747454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.350520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40705 KachelY 8959 0.76095034 1.36747454 43.599243 78.350520
    Oben rechts KachelX + 1 40706 KachelY 8959 0.76104622 1.36747454 43.604736 78.350520
    Unten links KachelX 40705 KachelY + 1 8960 0.76095034 1.36745518 43.599243 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 40706 KachelY + 1 8960 0.76104622 1.36745518 43.604736 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36747454-1.36745518) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dl = 123.342559998737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36747454-1.36745518) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dr = 123.342559998737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76095034-0.76104622) × cos(1.36747454) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.201923800940051 × 6371000     		do = 123.345452651518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76095034-0.76104622) × cos(1.36745518) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 123.357035110313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36747454)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201923800940051-0.201942762110113)×R²
    abs(0.76104622-0.76095034)×1.89611700617265e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.89611700617265e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.89611700617265e-05×40589641000000     		ar = 15214.4581997277m²