Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4072 / 4200
↖ ↑ ↗
← S  4.565474°
W  1.054688°		 ← 4 870.99 m → S  4.565474°
W  1.010742°		 →
↑
4 870.82 m
↓
↑
4 870.82 m
↓
S  4.609278°
W  1.054688°		 ← 4 870.69 m →
23 724 985 m²		 S  4.609278°
W  1.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49713134765625 y=0.51275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49713134765625 × 213)
    floor (0.49713134765625 × 8192)
    floor (4072.5)     		tx = 4072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51275634765625 × 213)
    floor (0.51275634765625 × 8192)
    floor (4200.5)     		ty = 4200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4072 / 4200 ti = "13/4072/4200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4072/4200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4072 ÷ 213
    4072 ÷ 8192     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4200 ÷ 213
    4200 ÷ 8192     		y = 0.5126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    -0.025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0797670009677734))-π/2
    2×atan(0.923331456661246)-π/2
    2×0.745556890712279-π/2
    1.49111378142456-1.57079632675     		φ = -0.07968255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07968255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.565474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4072 KachelY 4200 -0.01840777 -0.07968255 -1.054688 -4.565474
    Oben rechts KachelX + 1 4073 KachelY 4200 -0.01764078 -0.07968255 -1.010742 -4.565474
    Unten links KachelX 4072 KachelY + 1 4201 -0.01840777 -0.08044708 -1.054688 -4.609278
    Unten rechts KachelX + 1 4073 KachelY + 1 4201 -0.01764078 -0.08044708 -1.010742 -4.609278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07968255--0.08044708) × R
    0.000764529999999999 × 6371000     		dl = 4870.82063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07968255--0.08044708) × R
    0.000764529999999999 × 6371000     		dr = 4870.82063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01764078) × cos(-0.07968255) × R
    0.000766990000000002 × 0.996827024995696 × 6371000     		do = 4870.98856893214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01764078) × cos(-0.08044708) × R
    0.000766990000000002 × 0.996765878421807 × 6371000     		du = 4870.68977660913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07968255)-sin(-0.08044708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996827024995696-0.996765878421807)×R²
    abs(-0.01764078--0.01840777)×6.11465738895589e-05×R²
    0.000766990000000002×6.11465738895589e-05×6371000²
    0.000766990000000002×6.11465738895589e-05×40589641000000     		ar = 23724985.0837601m²