Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40768 / 9024
↖ ↑ ↗
← N 78.278202°
E 43.945312°		 ← 124.10 m → N 78.278202°
E 43.950806°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
N 78.277085°
E 43.945312°		 ← 124.11 m →
15 402 m²		 N 78.277085°
E 43.950806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622077941894531 y=0.137702941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622077941894531 × 216)
    floor (0.622077941894531 × 65536)
    floor (40768.5)     		tx = 40768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137702941894531 × 216)
    floor (0.137702941894531 × 65536)
    floor (9024.5)     		ty = 9024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40768 / 9024 ti = "16/40768/9024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40768/9024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40768 ÷ 216
    40768 ÷ 65536     		x = 0.6220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9024 ÷ 216
    9024 ÷ 65536     		y = 0.1376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6220703125 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1376953125 × 2 - 1) × π
    0.724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27642748915723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76699039} λ = 0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27642748915723))-π/2
    2×atan(9.74181542760384)-π/2
    2×1.46850433735916-π/2
    2.93700867471832-1.57079632675     		φ = 1.36621235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36621235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.278202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40768 KachelY 9024 0.76699039 1.36621235 43.945312 78.278202
    Oben rechts KachelX + 1 40769 KachelY 9024 0.76708627 1.36621235 43.950806 78.278202
    Unten links KachelX 40768 KachelY + 1 9025 0.76699039 1.36619287 43.945312 78.277085
    Unten rechts KachelX + 1 40769 KachelY + 1 9025 0.76708627 1.36619287 43.950806 78.277085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36621235-1.36619287) × R
    1.94800000001827e-05 × 6371000     		dl = 124.107080001164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36621235-1.36619287) × R
    1.94800000001827e-05 × 6371000     		dr = 124.107080001164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76699039-0.76708627) × cos(1.36621235) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.203159830211532 × 6371000     		do = 124.100482961181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76699039-0.76708627) × cos(1.36619287) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.203178903929047 × 6371000     		du = 124.112134169755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36621235)-sin(1.36619287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203159830211532-0.203178903929047)×R²
    abs(0.76708627-0.76699039)×1.90737175154998e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.90737175154998e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.90737175154998e-05×40589641000000     		ar = 15402.4715660842m²