Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 408 / 920
↖ ↑ ↗
← S 80.647035°
W 36.562500°		 ← 6 353.08 m → S 80.647035°
W 36.210937°		 →
↑
6 333.86 m
↓
↑
6 333.86 m
↓
S 80.703997°
W 36.562500°		 ← 6 314.73 m →
40 118 036 m²		 S 80.703997°
W 36.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39892578125 y=0.89892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39892578125 × 210)
    floor (0.39892578125 × 1024)
    floor (408.5)     		tx = 408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89892578125 × 210)
    floor (0.89892578125 × 1024)
    floor (920.5)     		ty = 920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 408 / 920 ti = "10/408/920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/408/920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 408 ÷ 210
    408 ÷ 1024     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 920 ÷ 210
    920 ÷ 1024     		y = 0.8984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8984375 × 2 - 1) × π
    -0.796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50345664575781))-π/2
    2×atan(0.0818017496892705)-π/2
    2×0.0816200192470943-π/2
    0.163240038494189-1.57079632675     		φ = -1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 408 KachelY 920 -0.63813601 -1.40755629 -36.562500 -80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 409 KachelY 920 -0.63200008 -1.40755629 -36.210937 -80.647035
    Unten links KachelX 408 KachelY + 1 921 -0.63813601 -1.40855046 -36.562500 -80.703997
    Unten rechts KachelX + 1 409 KachelY + 1 921 -0.63200008 -1.40855046 -36.210937 -80.703997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40755629--1.40855046) × R
    0.000994170000000016 × 6371000     		dl = 6333.8570700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40755629--1.40855046) × R
    0.000994170000000016 × 6371000     		dr = 6333.8570700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.63200008) × cos(-1.40755629) × R
    0.00613593000000001 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 6353.07778587817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.63200008) × cos(-1.40855046) × R
    0.00613593000000001 × 0.161534983931327 × 6371000     		du = 6314.72721203933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40755629)-sin(-1.40855046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.161534983931327)×R²
    abs(-0.63200008--0.63813601)×0.000981033561830325×R²
    0.00613593000000001×0.000981033561830325×6371000²
    0.00613593000000001×0.000981033561830325×40589641000000     		ar = 40118036.4280176m²