Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40831 / 8065
↖ ↑ ↗
← N 79.301620°
E 44.291382°		 ← 113.40 m → N 79.301620°
E 44.296875°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
N 79.300600°
E 44.291382°		 ← 113.41 m →
12 860 m²		 N 79.300600°
E 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623039245605469 y=0.123069763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623039245605469 × 216)
    floor (0.623039245605469 × 65536)
    floor (40831.5)     		tx = 40831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123069763183594 × 216)
    floor (0.123069763183594 × 65536)
    floor (8065.5)     		ty = 8065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40831 / 8065 ti = "16/40831/8065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40831/8065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40831 ÷ 216
    40831 ÷ 65536     		x = 0.623031616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8065 ÷ 216
    8065 ÷ 65536     		y = 0.123062133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623031616210938 × 2 - 1) × π
    0.246063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77303044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123062133789062 × 2 - 1) × π
    0.753875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36837046262849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77303044} λ = 0.77303044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36837046262849))-π/2
    2×atan(10.6799746787801)-π/2
    2×1.47743534831061-π/2
    2.95487069662123-1.57079632675     		φ = 1.38407437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77303044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.291382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38407437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.301620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40831 KachelY 8065 0.77303044 1.38407437 44.291382 79.301620
    Oben rechts KachelX + 1 40832 KachelY 8065 0.77312632 1.38407437 44.296875 79.301620
    Unten links KachelX 40831 KachelY + 1 8066 0.77303044 1.38405657 44.291382 79.300600
    Unten rechts KachelX + 1 40832 KachelY + 1 8066 0.77312632 1.38405657 44.296875 79.300600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38407437-1.38405657) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38407437-1.38405657) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77303044-0.77312632) × cos(1.38407437) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185638833734209 × 6371000     		do = 113.397756332072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77303044-0.77312632) × cos(1.38405657) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18565632430601 × 6371000     		du = 113.408440473743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38407437)-sin(1.38405657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185638833734209-0.18565632430601)×R²
    abs(0.77312632-0.77303044)×1.74905718006435e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74905718006435e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74905718006435e-05×40589641000000     		ar = 12860.342291087m²