Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40832 / 24448
↖ ↑ ↗
← N 41.508577°
E 44.296875°		 ← 457.39 m → N 41.508577°
E 44.302368°		 →
↑
457.44 m
↓
↑
457.44 m
↓
N 41.504463°
E 44.296875°		 ← 457.42 m →
209 235 m²		 N 41.504463°
E 44.302368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623054504394531 y=0.373054504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623054504394531 × 216)
    floor (0.623054504394531 × 65536)
    floor (40832.5)     		tx = 40832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373054504394531 × 216)
    floor (0.373054504394531 × 65536)
    floor (24448.5)     		ty = 24448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40832 / 24448 ti = "16/40832/24448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40832/24448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40832 ÷ 216
    40832 ÷ 65536     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24448 ÷ 216
    24448 ÷ 65536     		y = 0.373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373046875 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797670009677734))-π/2
    2×atan(2.22036147604752)-π/2
    2×1.14762883421835-π/2
    2.29525766843671-1.57079632675     		φ = 0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40832 KachelY 24448 0.77312632 0.72446134 44.296875 41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 40833 KachelY 24448 0.77322219 0.72446134 44.302368 41.508577
    Unten links KachelX 40832 KachelY + 1 24449 0.77312632 0.72438954 44.296875 41.504463
    Unten rechts KachelX + 1 40833 KachelY + 1 24449 0.77322219 0.72438954 44.302368 41.504463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72446134-0.72438954) × R
    7.17999999999552e-05 × 6371000     		dl = 457.437799999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72446134-0.72438954) × R
    7.17999999999552e-05 × 6371000     		dr = 457.437799999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77322219) × cos(0.72446134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 457.392402615754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77322219) × cos(0.72438954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748904100134929 × 6371000     		du = 457.42146526526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72446134)-sin(0.72438954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.748904100134929)×R²
    abs(0.77322219-0.77312632)×4.7582238763666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7582238763666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7582238763666e-05×40589641000000     		ar = 209235.221656304m²