Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40833 / 8575
↖ ↑ ↗
← N 78.768861°
E 44.302368°		 ← 118.96 m → N 78.768861°
E 44.307861°		 →
↑
118.95 m
↓
↑
118.95 m
↓
N 78.767792°
E 44.302368°		 ← 118.97 m →
14 151 m²		 N 78.767792°
E 44.307861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623069763183594 y=0.130851745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623069763183594 × 216)
    floor (0.623069763183594 × 65536)
    floor (40833.5)     		tx = 40833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130851745605469 × 216)
    floor (0.130851745605469 × 65536)
    floor (8575.5)     		ty = 8575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40833 / 8575 ti = "16/40833/8575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40833/8575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40833 ÷ 216
    40833 ÷ 65536     		x = 0.623062133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8575 ÷ 216
    8575 ÷ 65536     		y = 0.130844116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623062133789062 × 2 - 1) × π
    0.246124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77322219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130844116210938 × 2 - 1) × π
    0.738311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31947482501604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77322219} λ = 0.77322219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31947482501604))-π/2
    2×atan(10.1703316995073)-π/2
    2×1.47278615572694-π/2
    2.94557231145388-1.57079632675     		φ = 1.37477598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77322219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.302368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37477598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.768861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40833 KachelY 8575 0.77322219 1.37477598 44.302368 78.768861
    Oben rechts KachelX + 1 40834 KachelY 8575 0.77331806 1.37477598 44.307861 78.768861
    Unten links KachelX 40833 KachelY + 1 8576 0.77322219 1.37475731 44.302368 78.767792
    Unten rechts KachelX + 1 40834 KachelY + 1 8576 0.77331806 1.37475731 44.307861 78.767792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37477598-1.37475731) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dl = 118.94656999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37477598-1.37475731) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dr = 118.94656999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77322219-0.77331806) × cos(1.37477598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194767442768099 × 6371000     		do = 118.961572036927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77322219-0.77331806) × cos(1.37475731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194785755193382 × 6371000     		du = 118.972757042329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37477598)-sin(1.37475731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194767442768099-0.194785755193382)×R²
    abs(0.77331806-0.77322219)×1.83124252823852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83124252823852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83124252823852e-05×40589641000000     		ar = 14150.7361649789m²