Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40836 / 8580
↖ ↑ ↗
← N 78.763511°
E 44.318848°		 ← 119.03 m → N 78.763511°
E 44.324341°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
N 78.762440°
E 44.318848°		 ← 119.04 m →
14 174 m²		 N 78.762440°
E 44.324341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623115539550781 y=0.130928039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623115539550781 × 216)
    floor (0.623115539550781 × 65536)
    floor (40836.5)     		tx = 40836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130928039550781 × 216)
    floor (0.130928039550781 × 65536)
    floor (8580.5)     		ty = 8580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40836 / 8580 ti = "16/40836/8580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40836/8580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40836 ÷ 216
    40836 ÷ 65536     		x = 0.62310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8580 ÷ 216
    8580 ÷ 65536     		y = 0.13092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62310791015625 × 2 - 1) × π
    0.2462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77350981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13092041015625 × 2 - 1) × π
    0.7381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31899545601984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77350981} λ = 0.77350981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31899545601984))-π/2
    2×atan(10.1654575261666)-π/2
    2×1.47273946201477-π/2
    2.94547892402954-1.57079632675     		φ = 1.37468260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77350981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37468260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.763511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40836 KachelY 8580 0.77350981 1.37468260 44.318848 78.763511
    Oben rechts KachelX + 1 40837 KachelY 8580 0.77360569 1.37468260 44.324341 78.763511
    Unten links KachelX 40836 KachelY + 1 8581 0.77350981 1.37466391 44.318848 78.762440
    Unten rechts KachelX + 1 40837 KachelY + 1 8581 0.77360569 1.37466391 44.324341 78.762440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37468260-1.37466391) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dl = 119.07399000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37468260-1.37466391) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dr = 119.07399000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77350981-0.77360569) × cos(1.37468260) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194859033640422 × 6371000     		do = 119.029929090682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77350981-0.77360569) × cos(1.37466391) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194877365342603 × 6371000     		du = 119.041127038089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37468260)-sin(1.37466391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194859033640422-0.194877365342603)×R²
    abs(0.77360569-0.77350981)×1.8331702180574e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.8331702180574e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.8331702180574e-05×40589641000000     		ar = 14174.0352787987m²