Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40840 / 8072
↖ ↑ ↗
← N 79.294479°
E 44.340820°		 ← 113.46 m → N 79.294479°
E 44.346313°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
N 79.293459°
E 44.340820°		 ← 113.47 m →
12 875 m²		 N 79.293459°
E 44.346313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623176574707031 y=0.123176574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623176574707031 × 216)
    floor (0.623176574707031 × 65536)
    floor (40840.5)     		tx = 40840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123176574707031 × 216)
    floor (0.123176574707031 × 65536)
    floor (8072.5)     		ty = 8072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40840 / 8072 ti = "16/40840/8072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40840/8072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40840 ÷ 216
    40840 ÷ 65536     		x = 0.6231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8072 ÷ 216
    8072 ÷ 65536     		y = 0.1231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1231689453125 × 2 - 1) × π
    0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77389331} λ = 0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36769934603381))-π/2
    2×atan(10.6728095751213)-π/2
    2×1.47737303511575-π/2
    2.9547460702315-1.57079632675     		φ = 1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40840 KachelY 8072 0.77389331 1.38394974 44.340820 79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 40841 KachelY 8072 0.77398918 1.38394974 44.346313 79.294479
    Unten links KachelX 40840 KachelY + 1 8073 0.77389331 1.38393193 44.340820 79.293459
    Unten rechts KachelX + 1 40841 KachelY + 1 8073 0.77398918 1.38393193 44.346313 79.293459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38394974-1.38393193) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38394974-1.38393193) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77389331-0.77398918) × cos(1.38394974) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 113.46072772356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77389331-0.77398918) × cos(1.38393193) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.185778795964914 × 6371000     		du = 113.471416500824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38394974)-sin(1.38393193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.185778795964914)×R²
    abs(0.77398918-0.77389331)×1.74999857377178e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.74999857377178e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.74999857377178e-05×40589641000000     		ar = 12874.7126726312m²