Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40897 / 8383
↖ ↑ ↗
← N 78.972437°
E 44.653930°		 ← 116.84 m → N 78.972437°
E 44.659424°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
N 78.971386°
E 44.653930°		 ← 116.86 m →
13 653 m²		 N 78.971386°
E 44.659424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624046325683594 y=0.127922058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624046325683594 × 216)
    floor (0.624046325683594 × 65536)
    floor (40897.5)     		tx = 40897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127922058105469 × 216)
    floor (0.127922058105469 × 65536)
    floor (8383.5)     		ty = 8383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40897 / 8383 ti = "16/40897/8383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40897/8383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40897 ÷ 216
    40897 ÷ 65536     		x = 0.624038696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8383 ÷ 216
    8383 ÷ 65536     		y = 0.127914428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624038696289062 × 2 - 1) × π
    0.248077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77935811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127914428710938 × 2 - 1) × π
    0.744171142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33788259447014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77935811} λ = 0.77935811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33788259447014))-π/2
    2×atan(10.3592785302607)-π/2
    2×1.47456268290537-π/2
    2.94912536581073-1.57079632675     		φ = 1.37832904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77935811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.653930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37832904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.972437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40897 KachelY 8383 0.77935811 1.37832904 44.653930 78.972437
    Oben rechts KachelX + 1 40898 KachelY 8383 0.77945399 1.37832904 44.659424 78.972437
    Unten links KachelX 40897 KachelY + 1 8384 0.77935811 1.37831070 44.653930 78.971386
    Unten rechts KachelX + 1 40898 KachelY + 1 8384 0.77945399 1.37831070 44.659424 78.971386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37832904-1.37831070) × R
    1.83399999997835e-05 × 6371000     		dl = 116.844139998621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37832904-1.37831070) × R
    1.83399999997835e-05 × 6371000     		dr = 116.844139998621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77935811-0.77945399) × cos(1.37832904) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.191281203760758 × 6371000     		do = 116.844406413499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77935811-0.77945399) × cos(1.37831070) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.191299205085577 × 6371000     		du = 116.855402549407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37832904)-sin(1.37831070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191281203760758-0.191299205085577)×R²
    abs(0.77945399-0.77935811)×1.80013248199107e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.80013248199107e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.80013248199107e-05×40589641000000     		ar = 13653.2265984605m²