Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40912 / 8400
↖ ↑ ↗
← N 78.954560°
E 44.736328°		 ← 117.02 m → N 78.954560°
E 44.741821°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
N 78.953507°
E 44.736328°		 ← 117.03 m →
13 696 m²		 N 78.953507°
E 44.741821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624275207519531 y=0.128181457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624275207519531 × 216)
    floor (0.624275207519531 × 65536)
    floor (40912.5)     		tx = 40912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128181457519531 × 216)
    floor (0.128181457519531 × 65536)
    floor (8400.5)     		ty = 8400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40912 / 8400 ti = "16/40912/8400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40912/8400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40912 ÷ 216
    40912 ÷ 65536     		x = 0.624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8400 ÷ 216
    8400 ÷ 65536     		y = 0.128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624267578125 × 2 - 1) × π
    0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128173828125 × 2 - 1) × π
    0.74365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33625273988306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78079622} λ = 0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33625273988306))-π/2
    2×atan(10.3424081644854)-π/2
    2×1.47440667788141-π/2
    2.94881335576282-1.57079632675     		φ = 1.37801703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37801703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.954560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40912 KachelY 8400 0.78079622 1.37801703 44.736328 78.954560
    Oben rechts KachelX + 1 40913 KachelY 8400 0.78089209 1.37801703 44.741821 78.954560
    Unten links KachelX 40912 KachelY + 1 8401 0.78079622 1.37799866 44.736328 78.953507
    Unten rechts KachelX + 1 40913 KachelY + 1 8401 0.78089209 1.37799866 44.741821 78.953507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37801703-1.37799866) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37801703-1.37799866) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78079622-0.78089209) × cos(1.37801703) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191587443267103 × 6371000     		do = 117.019267233113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78079622-0.78089209) × cos(1.37799866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191605472940595 × 6371000     		du = 117.030279537179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37801703)-sin(1.37799866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191587443267103-0.191605472940595)×R²
    abs(0.78089209-0.78079622)×1.80296734919871e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80296734919871e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80296734919871e-05×40589641000000     		ar = 13696.0259505925m²