Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4092 / 4108
↖ ↑ ↗
← S  0.527336°
W  0.175781°		 ← 4 886.29 m → S  0.527336°
W  0.131836°		 →
↑
4 886.30 m
↓
↑
4 886.30 m
↓
S  0.571280°
W  0.175781°		 ← 4 886.25 m →
23 875 785 m²		 S  0.571280°
W  0.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49957275390625 y=0.50152587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49957275390625 × 213)
    floor (0.49957275390625 × 8192)
    floor (4092.5)     		tx = 4092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50152587890625 × 213)
    floor (0.50152587890625 × 8192)
    floor (4108.5)     		ty = 4108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4092 / 4108 ti = "13/4092/4108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4092/4108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4092 ÷ 213
    4092 ÷ 8192     		x = 0.49951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4108 ÷ 213
    4108 ÷ 8192     		y = 0.50146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    -0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00306796} λ = -0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00920388472705078))-π/2
    2×atan(0.990838341372631)-π/2
    2×0.780796286005449-π/2
    1.5615925720109-1.57079632675     		φ = -0.00920375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00920375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.527336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4092 KachelY 4108 -0.00306796 -0.00920375 -0.175781 -0.527336
    Oben rechts KachelX + 1 4093 KachelY 4108 -0.00230097 -0.00920375 -0.131836 -0.527336
    Unten links KachelX 4092 KachelY + 1 4109 -0.00306796 -0.00997071 -0.175781 -0.571280
    Unten rechts KachelX + 1 4093 KachelY + 1 4109 -0.00230097 -0.00997071 -0.131836 -0.571280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00920375--0.00997071) × R
    0.000766960000000001 × 6371000     		dl = 4886.30216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00920375--0.00997071) × R
    0.000766960000000001 × 6371000     		dr = 4886.30216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00306796--0.00230097) × cos(-0.00920375) × R
    0.00076699 × 0.999957645791952 × 6371000     		do = 4886.28632644657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00306796--0.00230097) × cos(-0.00997071) × R
    0.00076699 × 0.999950292882853 × 6371000     		du = 4886.2503965056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00920375)-sin(-0.00997071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999957645791952-0.999950292882853)×R²
    abs(-0.00230097--0.00306796)×7.35290909892328e-06×R²
    0.00076699×7.35290909892328e-06×6371000²
    0.00076699×7.35290909892328e-06×40589641000000     		ar = 23875784.8193866m²