Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40929 / 8287
↖ ↑ ↗
← N 79.072853°
E 44.829712°		 ← 115.78 m → N 79.072853°
E 44.835205°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
N 79.071812°
E 44.829712°		 ← 115.79 m →
13 404 m²		 N 79.071812°
E 44.835205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624534606933594 y=0.126457214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624534606933594 × 216)
    floor (0.624534606933594 × 65536)
    floor (40929.5)     		tx = 40929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126457214355469 × 216)
    floor (0.126457214355469 × 65536)
    floor (8287.5)     		ty = 8287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40929 / 8287 ti = "16/40929/8287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40929/8287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40929 ÷ 216
    40929 ÷ 65536     		x = 0.624526977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8287 ÷ 216
    8287 ÷ 65536     		y = 0.126449584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624526977539062 × 2 - 1) × π
    0.249053955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78242608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126449584960938 × 2 - 1) × π
    0.747100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34708647919719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78242608} λ = 0.78242608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34708647919719))-π/2
    2×atan(10.4550642599375)-π/2
    2×1.47543898335162-π/2
    2.95087796670324-1.57079632675     		φ = 1.38008164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78242608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.829712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38008164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.072853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40929 KachelY 8287 0.78242608 1.38008164 44.829712 79.072853
    Oben rechts KachelX + 1 40930 KachelY 8287 0.78252195 1.38008164 44.835205 79.072853
    Unten links KachelX 40929 KachelY + 1 8288 0.78242608 1.38006347 44.829712 79.071812
    Unten rechts KachelX + 1 40930 KachelY + 1 8288 0.78252195 1.38006347 44.835205 79.071812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38008164-1.38006347) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38008164-1.38006347) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78242608-0.78252195) × cos(1.38008164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189560672143717 × 6371000     		do = 115.78134021836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78242608-0.78252195) × cos(1.38006347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189578512672325 × 6371000     		du = 115.792236995044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38008164)-sin(1.38006347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189560672143717-0.189578512672325)×R²
    abs(0.78252195-0.78242608)×1.78405286077044e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78405286077044e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78405286077044e-05×40589641000000     		ar = 13403.602541057m²