Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40932 / 8292
↖ ↑ ↗
← N 79.067646°
E 44.846192°		 ← 115.84 m → N 79.067646°
E 44.851685°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
N 79.066604°
E 44.846192°		 ← 115.85 m →
13 417 m²		 N 79.066604°
E 44.851685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624580383300781 y=0.126533508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624580383300781 × 216)
    floor (0.624580383300781 × 65536)
    floor (40932.5)     		tx = 40932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126533508300781 × 216)
    floor (0.126533508300781 × 65536)
    floor (8292.5)     		ty = 8292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40932 / 8292 ti = "16/40932/8292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40932/8292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40932 ÷ 216
    40932 ÷ 65536     		x = 0.62457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8292 ÷ 216
    8292 ÷ 65536     		y = 0.12652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62457275390625 × 2 - 1) × π
    0.2491455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78271370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12652587890625 × 2 - 1) × π
    0.7469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34660711020099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78271370} λ = 0.78271370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34660711020099))-π/2
    2×atan(10.4500536273449)-π/2
    2×1.47539353790286-π/2
    2.95078707580573-1.57079632675     		φ = 1.37999075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78271370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.846192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37999075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.067646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40932 KachelY 8292 0.78271370 1.37999075 44.846192 79.067646
    Oben rechts KachelX + 1 40933 KachelY 8292 0.78280957 1.37999075 44.851685 79.067646
    Unten links KachelX 40932 KachelY + 1 8293 0.78271370 1.37997257 44.846192 79.066604
    Unten rechts KachelX + 1 40933 KachelY + 1 8293 0.78280957 1.37997257 44.851685 79.066604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37999075-1.37997257) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dl = 115.824779999157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37999075-1.37997257) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dr = 115.824779999157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78271370-0.78280957) × cos(1.37999075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189649913434877 × 6371000     		do = 115.835847707579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78271370-0.78280957) × cos(1.37997257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189667763468826 × 6371000     		du = 115.846750290009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37999075)-sin(1.37997257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189649913434877-0.189667763468826)×R²
    abs(0.78280957-0.78271370)×1.78500339485244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78500339485244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78500339485244e-05×40589641000000     		ar = 13417.292971381m²