Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40944 / 8240
↖ ↑ ↗
← N 79.121686°
E 44.912109°		 ← 115.28 m → N 79.121686°
E 44.917603°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
N 79.120649°
E 44.912109°		 ← 115.29 m →
13 294 m²		 N 79.120649°
E 44.917603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624763488769531 y=0.125740051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624763488769531 × 216)
    floor (0.624763488769531 × 65536)
    floor (40944.5)     		tx = 40944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125740051269531 × 216)
    floor (0.125740051269531 × 65536)
    floor (8240.5)     		ty = 8240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40944 / 8240 ti = "16/40944/8240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40944/8240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40944 ÷ 216
    40944 ÷ 65536     		x = 0.624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8240 ÷ 216
    8240 ÷ 65536     		y = 0.125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125732421875 × 2 - 1) × π
    0.74853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35159254776147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78386418} λ = 0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35159254776147))-π/2
    2×atan(10.5022817991767)-π/2
    2×1.47586512659032-π/2
    2.95173025318063-1.57079632675     		φ = 1.38093393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38093393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.121686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40944 KachelY 8240 0.78386418 1.38093393 44.912109 79.121686
    Oben rechts KachelX + 1 40945 KachelY 8240 0.78396006 1.38093393 44.917603 79.121686
    Unten links KachelX 40944 KachelY + 1 8241 0.78386418 1.38091583 44.912109 79.120649
    Unten rechts KachelX + 1 40945 KachelY + 1 8241 0.78396006 1.38091583 44.917603 79.120649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38093393-1.38091583) × R
    1.81000000001319e-05 × 6371000     		dl = 115.31510000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38093393-1.38091583) × R
    1.81000000001319e-05 × 6371000     		dr = 115.31510000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78386418-0.78396006) × cos(1.38093393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188723766258762 × 6371000     		do = 115.282191930263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78386418-0.78396006) × cos(1.38091583) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18874154097471 × 6371000     		du = 115.293049641807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38093393)-sin(1.38091583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188723766258762-0.18874154097471)×R²
    abs(0.78396006-0.78386418)×1.77747159479658e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.77747159479658e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.77747159479658e-05×40589641000000     		ar = 13294.4035202501m²