Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40952 / 24568
↖ ↑ ↗
← N 41.013066°
E 44.956055°		 ← 460.92 m → N 41.013066°
E 44.961548°		 →
↑
460.88 m
↓
↑
460.88 m
↓
N 41.008921°
E 44.956055°		 ← 460.95 m →
212 437 m²		 N 41.008921°
E 44.961548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624885559082031 y=0.374885559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624885559082031 × 216)
    floor (0.624885559082031 × 65536)
    floor (40952.5)     		tx = 40952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374885559082031 × 216)
    floor (0.374885559082031 × 65536)
    floor (24568.5)     		ty = 24568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40952 / 24568 ti = "16/40952/24568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40952/24568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40952 ÷ 216
    40952 ÷ 65536     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24568 ÷ 216
    24568 ÷ 65536     		y = 0.3748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.786165153768921))-π/2
    2×atan(2.19496292070891)-π/2
    2×1.14330468054912-π/2
    2.28660936109824-1.57079632675     		φ = 0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40952 KachelY 24568 0.78463117 0.71581303 44.956055 41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 40953 KachelY 24568 0.78472705 0.71581303 44.961548 41.013066
    Unten links KachelX 40952 KachelY + 1 24569 0.78463117 0.71574069 44.956055 41.008921
    Unten rechts KachelX + 1 40953 KachelY + 1 24569 0.78472705 0.71574069 44.961548 41.008921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71581303-0.71574069) × R
    7.23400000000041e-05 × 6371000     		dl = 460.878140000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71581303-0.71574069) × R
    7.23400000000041e-05 × 6371000     		dr = 460.878140000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78472705) × cos(0.71581303) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 460.924065307195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78472705) × cos(0.71574069) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754607424861332 × 6371000     		du = 460.953062295231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71581303)-sin(0.71574069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754607424861332)×R²
    abs(0.78472705-0.78463117)×4.74697843673155e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74697843673155e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74697843673155e-05×40589641000000     		ar = 212436.50803147m²