Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40952 / 8200
↖ ↑ ↗
← N 79.163075°
E 44.956055°		 ← 114.85 m → N 79.163075°
E 44.961548°		 →
↑
114.81 m
↓
↑
114.81 m
↓
N 79.162043°
E 44.956055°		 ← 114.86 m →
13 186 m²		 N 79.162043°
E 44.961548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624885559082031 y=0.125129699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624885559082031 × 216)
    floor (0.624885559082031 × 65536)
    floor (40952.5)     		tx = 40952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125129699707031 × 216)
    floor (0.125129699707031 × 65536)
    floor (8200.5)     		ty = 8200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40952 / 8200 ti = "16/40952/8200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40952/8200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40952 ÷ 216
    40952 ÷ 65536     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8200 ÷ 216
    8200 ÷ 65536     		y = 0.1251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1251220703125 × 2 - 1) × π
    0.749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35542749973108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35542749973108))-π/2
    2×atan(10.5426348720404)-π/2
    2×1.47622631929543-π/2
    2.95245263859086-1.57079632675     		φ = 1.38165631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38165631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.163075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40952 KachelY 8200 0.78463117 1.38165631 44.956055 79.163075
    Oben rechts KachelX + 1 40953 KachelY 8200 0.78472705 1.38165631 44.961548 79.163075
    Unten links KachelX 40952 KachelY + 1 8201 0.78463117 1.38163829 44.956055 79.162043
    Unten rechts KachelX + 1 40953 KachelY + 1 8201 0.78472705 1.38163829 44.961548 79.162043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38165631-1.38163829) × R
    1.8020000000174e-05 × 6371000     		dl = 114.805420001109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38165631-1.38163829) × R
    1.8020000000174e-05 × 6371000     		dr = 114.805420001109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78472705) × cos(1.38165631) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188014318093767 × 6371000     		do = 114.848824468693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78472705) × cos(1.38163829) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18803201669974 × 6371000     		du = 114.859635688346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38165631)-sin(1.38163829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188014318093767-0.18803201669974)×R²
    abs(0.78472705-0.78463117)×1.76986059729212e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76986059729212e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76986059729212e-05×40589641000000     		ar = 13185.8881233012m²