Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40953 / 8185
↖ ↑ ↗
← N 79.178557°
E 44.961548°		 ← 114.67 m → N 79.178557°
E 44.967041°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
N 79.177525°
E 44.961548°		 ← 114.69 m →
13 159 m²		 N 79.177525°
E 44.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624900817871094 y=0.124900817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624900817871094 × 216)
    floor (0.624900817871094 × 65536)
    floor (40953.5)     		tx = 40953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124900817871094 × 216)
    floor (0.124900817871094 × 65536)
    floor (8185.5)     		ty = 8185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40953 / 8185 ti = "16/40953/8185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40953/8185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40953 ÷ 216
    40953 ÷ 65536     		x = 0.624893188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8185 ÷ 216
    8185 ÷ 65536     		y = 0.124893188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624893188476562 × 2 - 1) × π
    0.249786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78472705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124893188476562 × 2 - 1) × π
    0.750213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35686560671968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78472705} λ = 0.78472705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35686560671968))-π/2
    2×atan(10.5578072160402)-π/2
    2×1.47636141621295-π/2
    2.9527228324259-1.57079632675     		φ = 1.38192651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78472705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.961548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38192651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.178557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40953 KachelY 8185 0.78472705 1.38192651 44.961548 79.178557
    Oben rechts KachelX + 1 40954 KachelY 8185 0.78482292 1.38192651 44.967041 79.178557
    Unten links KachelX 40953 KachelY + 1 8186 0.78472705 1.38190850 44.961548 79.177525
    Unten rechts KachelX + 1 40954 KachelY + 1 8186 0.78482292 1.38190850 44.967041 79.177525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38192651-1.38190850) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38192651-1.38190850) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78472705-0.78482292) × cos(1.38192651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187748929902851 × 6371000     		do = 114.674750215246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78472705-0.78482292) × cos(1.38190850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187766619601526 × 6371000     		du = 114.685554866852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38192651)-sin(1.38190850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187748929902851-0.187766619601526)×R²
    abs(0.78482292-0.78472705)×1.76896986755215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76896986755215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76896986755215e-05×40589641000000     		ar = 13158.5968057748m²