Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40954 / 8218
↖ ↑ ↗
← N 79.144470°
E 44.967041°		 ← 115.03 m → N 79.144470°
E 44.972534°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
N 79.143435°
E 44.967041°		 ← 115.04 m →
13 236 m²		 N 79.143435°
E 44.972534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624916076660156 y=0.125404357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624916076660156 × 216)
    floor (0.624916076660156 × 65536)
    floor (40954.5)     		tx = 40954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125404357910156 × 216)
    floor (0.125404357910156 × 65536)
    floor (8218.5)     		ty = 8218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40954 / 8218 ti = "16/40954/8218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40954/8218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40954 ÷ 216
    40954 ÷ 65536     		x = 0.624908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8218 ÷ 216
    8218 ÷ 65536     		y = 0.125396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624908447265625 × 2 - 1) × π
    0.24981689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78482292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125396728515625 × 2 - 1) × π
    0.74920654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35370177134476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78482292} λ = 0.78482292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35370177134476))-π/2
    2×atan(10.5244568374616)-π/2
    2×1.47606395091246-π/2
    2.95212790182492-1.57079632675     		φ = 1.38133158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78482292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.967041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38133158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.144470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40954 KachelY 8218 0.78482292 1.38133158 44.967041 79.144470
    Oben rechts KachelX + 1 40955 KachelY 8218 0.78491879 1.38133158 44.972534 79.144470
    Unten links KachelX 40954 KachelY + 1 8219 0.78482292 1.38131352 44.967041 79.143435
    Unten rechts KachelX + 1 40955 KachelY + 1 8219 0.78491879 1.38131352 44.972534 79.143435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38133158-1.38131352) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dl = 115.06025999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38133158-1.38131352) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dr = 115.06025999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78482292-0.78491879) × cos(1.38133158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188333247033669 × 6371000     		do = 115.031643972552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78482292-0.78491879) × cos(1.38131352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188350983822537 × 6371000     		du = 115.042477386271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38133158)-sin(1.38131352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188333247033669-0.188350983822537)×R²
    abs(0.78491879-0.78482292)×1.77367888680446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77367888680446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77367888680446e-05×40589641000000     		ar = 13236.1941115516m²