Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40956 / 8180
↖ ↑ ↗
← N 79.183712°
E 44.978027°		 ← 114.62 m → N 79.183712°
E 44.983520°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
N 79.182681°
E 44.978027°		 ← 114.63 m →
13 145 m²		 N 79.182681°
E 44.983520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624946594238281 y=0.124824523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624946594238281 × 216)
    floor (0.624946594238281 × 65536)
    floor (40956.5)     		tx = 40956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124824523925781 × 216)
    floor (0.124824523925781 × 65536)
    floor (8180.5)     		ty = 8180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40956 / 8180 ti = "16/40956/8180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40956/8180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40956 ÷ 216
    40956 ÷ 65536     		x = 0.62493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8180 ÷ 216
    8180 ÷ 65536     		y = 0.12481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62493896484375 × 2 - 1) × π
    0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12481689453125 × 2 - 1) × π
    0.7503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35734497571588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78501467} λ = 0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35734497571588))-π/2
    2×atan(10.5628695147451)-π/2
    2×1.47640640612949-π/2
    2.95281281225898-1.57079632675     		φ = 1.38201649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38201649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.183712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40956 KachelY 8180 0.78501467 1.38201649 44.978027 79.183712
    Oben rechts KachelX + 1 40957 KachelY 8180 0.78511054 1.38201649 44.983520 79.183712
    Unten links KachelX 40956 KachelY + 1 8181 0.78501467 1.38199849 44.978027 79.182681
    Unten rechts KachelX + 1 40957 KachelY + 1 8181 0.78511054 1.38199849 44.983520 79.182681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38201649-1.38199849) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38201649-1.38199849) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78501467-0.78511054) × cos(1.38201649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187660549252491 × 6371000     		do = 114.620768394901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78501467-0.78511054) × cos(1.38199849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187678229433058 × 6371000     		du = 114.631567232963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38201649)-sin(1.38199849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187660549252491-0.187678229433058)×R²
    abs(0.78511054-0.78501467)×1.76801805672755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76801805672755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76801805672755e-05×40589641000000     		ar = 13145.0996726237m²