Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40962 / 24578
↖ ↑ ↗
← N 40.971603°
E 45.010986°		 ← 461.17 m → N 40.971603°
E 45.016479°		 →
↑
461.20 m
↓
↑
461.20 m
↓
N 40.967456°
E 45.010986°		 ← 461.19 m →
212 695 m²		 N 40.967456°
E 45.016479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625038146972656 y=0.375038146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625038146972656 × 216)
    floor (0.625038146972656 × 65536)
    floor (40962.5)     		tx = 40962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375038146972656 × 216)
    floor (0.375038146972656 × 65536)
    floor (24578.5)     		ty = 24578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40962 / 24578 ti = "16/40962/24578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40962/24578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40962 ÷ 216
    40962 ÷ 65536     		x = 0.625030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24578 ÷ 216
    24578 ÷ 65536     		y = 0.375030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375030517578125 × 2 - 1) × π
    0.24993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.78520641577652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78558991} λ = 0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78520641577652))-π/2
    2×atan(2.19285953482401)-π/2
    2×1.14294285412352-π/2
    2.28588570824704-1.57079632675     		φ = 0.71508938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71508938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.971603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40962 KachelY 24578 0.78558991 0.71508938 45.010986 40.971603
    Oben rechts KachelX + 1 40963 KachelY 24578 0.78568578 0.71508938 45.016479 40.971603
    Unten links KachelX 40962 KachelY + 1 24579 0.78558991 0.71501699 45.010986 40.967456
    Unten rechts KachelX + 1 40963 KachelY + 1 24579 0.78568578 0.71501699 45.016479 40.967456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71508938-0.71501699) × R
    7.23900000000333e-05 × 6371000     		dl = 461.196690000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71508938-0.71501699) × R
    7.23900000000333e-05 × 6371000     		dr = 461.196690000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78558991-0.78568578) × cos(0.71508938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.755034639110788 × 6371000     		do = 461.165923495223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78558991-0.78568578) × cos(0.71501699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.755082102162661 × 6371000     		du = 461.194913346834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71508938)-sin(0.71501699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755034639110788-0.755082102162661)×R²
    abs(0.78568578-0.78558991)×4.74630518730867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74630518730867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74630518730867e-05×40589641000000     		ar = 212694.88256152m²