Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40964 / 8188
↖ ↑ ↗
← N 79.175462°
E 45.021973°		 ← 114.71 m → N 79.175462°
E 45.027466°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
N 79.174430°
E 45.021973°		 ← 114.72 m →
13 162 m²		 N 79.174430°
E 45.027466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625068664550781 y=0.124946594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625068664550781 × 216)
    floor (0.625068664550781 × 65536)
    floor (40964.5)     		tx = 40964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124946594238281 × 216)
    floor (0.124946594238281 × 65536)
    floor (8188.5)     		ty = 8188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40964 / 8188 ti = "16/40964/8188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40964/8188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40964 ÷ 216
    40964 ÷ 65536     		x = 0.62506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8188 ÷ 216
    8188 ÷ 65536     		y = 0.12493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62506103515625 × 2 - 1) × π
    0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12493896484375 × 2 - 1) × π
    0.7501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35657798532196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78578166} λ = 0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35657798532196))-π/2
    2×atan(10.554771001433)-π/2
    2×1.47633441209328-π/2
    2.95266882418657-1.57079632675     		φ = 1.38187250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38187250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.175462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40964 KachelY 8188 0.78578166 1.38187250 45.021973 79.175462
    Oben rechts KachelX + 1 40965 KachelY 8188 0.78587753 1.38187250 45.027466 79.175462
    Unten links KachelX 40964 KachelY + 1 8189 0.78578166 1.38185449 45.021973 79.174430
    Unten rechts KachelX + 1 40965 KachelY + 1 8189 0.78587753 1.38185449 45.027466 79.174430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38187250-1.38185449) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38187250-1.38185449) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78578166-0.78587753) × cos(1.38187250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187801979172021 × 6371000     		do = 114.707152060063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78578166-0.78587753) × cos(1.38185449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187819668688035 × 6371000     		du = 114.717956600101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38187250)-sin(1.38185449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187801979172021-0.187819668688035)×R²
    abs(0.78587753-0.78578166)×1.7689516013969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7689516013969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7689516013969e-05×40589641000000     		ar = 13162.3146426642m²