Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40965 / 57349
↖ ↑ ↗
← S 79.176493°
E 45.027466°		 ← 114.71 m → S 79.176493°
E 45.032959°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 79.177525°
E 45.027466°		 ← 114.70 m →
13 154 m²		 S 79.177525°
E 45.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625083923339844 y=0.875083923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625083923339844 × 216)
    floor (0.625083923339844 × 65536)
    floor (40965.5)     		tx = 40965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875083923339844 × 216)
    floor (0.875083923339844 × 65536)
    floor (57349.5)     		ty = 57349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40965 / 57349 ti = "16/40965/57349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40965/57349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40965 ÷ 216
    40965 ÷ 65536     		x = 0.625076293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57349 ÷ 216
    57349 ÷ 65536     		y = 0.875076293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625076293945312 × 2 - 1) × π
    0.250152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78587753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875076293945312 × 2 - 1) × π
    -0.750152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3566738591212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78587753} λ = 0.78587753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3566738591212))-π/2
    2×atan(0.0947348010355462)-π/2
    2×0.0944529124807346-π/2
    0.188905824961469-1.57079632675     		φ = -1.38189050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78587753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.027466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38189050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.176493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40965 KachelY 57349 0.78587753 -1.38189050 45.027466 -79.176493
    Oben rechts KachelX + 1 40966 KachelY 57349 0.78597341 -1.38189050 45.032959 -79.176493
    Unten links KachelX 40965 KachelY + 1 57350 0.78587753 -1.38190850 45.027466 -79.177525
    Unten rechts KachelX + 1 40966 KachelY + 1 57350 0.78597341 -1.38190850 45.032959 -79.177525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38189050--1.38190850) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38189050--1.38190850) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78587753-0.78597341) × cos(-1.38189050) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187784299417195 × 6371000     		do = 114.708317219682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78587753-0.78597341) × cos(-1.38190850) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187766619601526 × 6371000     		du = 114.697517478114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38189050)-sin(-1.38190850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187784299417195-0.187766619601526)×R²
    abs(0.78597341-0.78587753)×1.76798156686919e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76798156686919e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76798156686919e-05×40589641000000     		ar = 13153.9011561152m²