Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40966 / 57350
↖ ↑ ↗
← S 79.177525°
E 45.032959°		 ← 114.69 m → S 79.177525°
E 45.038452°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
S 79.178557°
E 45.032959°		 ← 114.67 m →
13 159 m²		 S 79.178557°
E 45.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625099182128906 y=0.875099182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625099182128906 × 216)
    floor (0.625099182128906 × 65536)
    floor (40966.5)     		tx = 40966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875099182128906 × 216)
    floor (0.875099182128906 × 65536)
    floor (57350.5)     		ty = 57350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40966 / 57350 ti = "16/40966/57350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40966/57350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40966 ÷ 216
    40966 ÷ 65536     		x = 0.625091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57350 ÷ 216
    57350 ÷ 65536     		y = 0.875091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625091552734375 × 2 - 1) × π
    0.25018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78597341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.75018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35676973292044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78597341} λ = 0.78597341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35676973292044))-π/2
    2×atan(0.0947257188856277)-π/2
    2×0.0944439111075383-π/2
    0.188887822215077-1.57079632675     		φ = -1.38190850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78597341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38190850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.177525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40966 KachelY 57350 0.78597341 -1.38190850 45.032959 -79.177525
    Oben rechts KachelX + 1 40967 KachelY 57350 0.78606928 -1.38190850 45.038452 -79.177525
    Unten links KachelX 40966 KachelY + 1 57351 0.78597341 -1.38192651 45.032959 -79.178557
    Unten rechts KachelX + 1 40967 KachelY + 1 57351 0.78606928 -1.38192651 45.038452 -79.178557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38190850--1.38192651) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38190850--1.38192651) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78597341-0.78606928) × cos(-1.38190850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187766619601526 × 6371000     		do = 114.685554866852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78597341-0.78606928) × cos(-1.38192651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187748929902851 × 6371000     		du = 114.674750215246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38190850)-sin(-1.38192651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187766619601526-0.187748929902851)×R²
    abs(0.78606928-0.78597341)×1.76896986755215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76896986755215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76896986755215e-05×40589641000000     		ar = 13158.5968057748m²